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Dieser Wert, der von z,, und Zy^ d. h. von der Stellung der 

 Tangentialebene der gegebenen Fläche z = z. {œ, y) abhängt, ist 

 am kleinsten, wenn die Gleichungen 



A ./^, —f-A^ =0 



'" X '"x 



A-f^ —/■ A^=o 



erfüllt sind und wenn ausserdem das Minimum von /: J als Funk- 

 tion von Sa-, ^,j für die durch (5) errechneten Werte dieser letzten 

 Grössen gesichert ist (Lege n d r e'sche bzw. Weierstras s'sche 

 Bedingung). 



Den Mininialwert des Ausdrucks (4) nennen wir den Quer- 

 schnitt der betrachteten Röhre in ihrem Schnittpunkte mit der 

 Fläche z = z {x, y). 



Nun verlangen wir von der Kurvenschar (2), dass sie lauter 

 Eöhren konstanten Querschnitts enthalte. Dies liefert die Gleichung 



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wo '(/,' (^, ,m) zunächst eine willkürliche Funktion bedeutet. Bemerkt 

 man aber, dass man stets durch eine geeignete Transformation der 

 Parameter /, /f die Funktion \p {X, f.i) = 1 setzen kann, so erhält 

 man schliesslich das Gleichungssystem 



,/ ^A 



(6) 



/ 



y y , 

 aus dem man die ganze Variationsrechnung für Doppelintegrale 

 mit geringer Mühe entwickeln kann. 



. 8. D. Hilbert (Göttingen). — Axlomaiisches Denken. 

 Wenn wir die Tatsachen eines bestimmten Wissensgebietes 

 zusammenstellen, so bemerken wir, dass dieselben einer Ordnung 

 fähig sind. Diese Ordnung erfolgt mit Hilfe eines gewissen Fach- 

 werkes von Begriiien in der Weise, dass dem einzelnen Gegenstande 

 des Wissensgebietes ein Begriff dieses Fachwerkes und jeder 

 Tatsache innerhalb des Wissensgebietes eine logische Beziehung 

 zwischen den Begriffen entspricht. Das Fachwerk der Begriffe 

 lieisst die Theorie des Wissensgebietes. Weiter erkennen wir, dass 



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X 



A 



'x 



f. = 



A^ 



