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^ r-H 







aaa' 



a . . 



aßy 



a . . 



a . . 



a . . 



a'ß'm 









1. 



hß . 



ba'p 



Iß' 



by' . 



ßß'. 



ß-. 



a'y'n 



(12) 



o 



S 





cy . 



ca'q 



cß' . 



cy' . 



yy' . 



Y ■■ 







■^^ Ö 

 ^ Ö 

 .^^ 



co 





aam 



aa'n 



aß'p 



ay'q 



aa' . 



0. . . 



ßy . 



(24) pour aa'n 



JC 



2. 



hß . 



h . . 



bß'a' 



by'. 



ßß'. 



ß.. 



a' . . 



(20) pour ba'n ou 









cy . 



c . . 



cß'. 



cy'a' 



yy' . 



7 ■ ■ 





ca'n. 



b) 



Dans chacune de ces dispositions, les éléments a', /i', ;/, différents 

 entre eux et des éléments a, h, c, a, /i, 7, peuvent être tous les 

 arrangements des 7 éléments restants 3 à 3 ; pour chaque arrange- 

 ment «',//, 7'; m,n,p,q peuvent être toutes les permutations des 

 4 derniers éléments. Pour un arrangement a', //, y' et une permu- 

 tation m, n, p, q, fixés, chacune des dispositions se complète par 

 les éléments m, n,p, q (et cela sans y mettre beaucoup de temps), 

 du nombre de manière que' j'ai indiqué à droite, c'est-à-dire donne 

 ce nombre de systèmes. En tenant compte des dispositions où les 

 2 éléments ß' et y' ont à prendre le même rôle que a', ^^ous ob- 

 tenons donc: 



Ai'o. 4?.P4. (40 + 8 + 3.8 + 3.12 + 3 [24 + 2 . 20] ) = 10! 300. 

 systèmes de triples, ne contenant pas le triple abc, et par suite 



— ' — =101330 systèmes de triples de 13 éléments, qui 



diffèrent entre eux au moins par l'un de leurs triples. Or les ordres 



des groupes qui transforment en eux-mêmes le système cyclique 



13 ' 13 ' 

 de Netto et celui de Kirkmann, sont 39 et 6 ; ^^ -| — + = 10! 330. 



Par conséquent le système de Netto et celui de Kirkmann sont 

 les 2 seuls systèmes de triples de Steiner différents 

 pour 1 3 éléments. 



11. L. G. Du Pasquier (Neuchâtel). — Sur un point de la 

 théorie des nombres hyper complexes. 



Envisageons le corps de nombres [R\ formé par l'ensemble 



des nombres hypercomplexes x "^ Xo eo -{- xi ^1 + + ^« ^n à 



coordonnées x^ toutes rationnelles. Les complexes Xo'\' Xij, oùj 

 est un symbole défini par ß = 1, fournissent l'exemple le plus 

 simple montrant combien la définition „lipschitzienne'' du nombre 

 hypercomplexe entier est peu appropriée pour servir de base à 

 une arithnomie. Par exemple, le produit (3 -\-j) (5 — 3/) == 12 — ij 

 est divisible par 2 sans qu'aucun des facteurs ne le soit. On fait 

 tomber cette irrégularité et d'autres encore, en adoptant la défini- 



