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bestimmung, also als die Grundelemente im Räume ansehen. Wir 

 können jetzt auch jeden projektiven Satz der Liniengeometrie auf 

 unendlich viele Weisen interpretieren, da wir jetzt die tetraedral- 

 symmetrischen Kurven von irgendeinem ganzzahligen Index m 

 ebenso wie die Geraden als Grundelemente im Räume ansehen 

 können. 



13. K. Merz (Chur). — Quadratische Transformation einer 

 Kollineation und eine Massgeometrie. 



Durch 1^ = x^ : (r® — oc^ - — y^) • tf == y^ : (r^ — x'^ — y^) wird 

 die unbegrenzte Ebene |, >; in das Innere des Kreises x^ -\-y^ ^^^ r* 

 abgebildet, wobei ihrer unendlich fernen Geraden der Umfang ent- 

 spricht. Den Geraden parallel zu | entsprechen Ellipsen mit dem 

 Kreisdurchmesser auf x als grosse Achse. Dem Werte >; = 1 

 entspricht dann auf y die kleine Halbachse r : y 2. Wird diese 

 Strecke als Einheit für die rj angenommen und lässt man die Koor- 

 dinatenachsen I i] mit X y zusammenfallen, so entsprechen die 

 Punkte auf x- -\- y^ = r'^ : 2 sich selbst. Einer Strecke A B im 

 Innern des Kreises r, die verlängert, ihn in IJ und 7 schneidet, 

 entspricht in zentrischer Lage ein Bogenstück A' B' einer Hyperbel 

 mit den Asymptoten U und V. 



Wendet man auf diese Abbildung die quadratische Transfor- 

 mation ^^ = I', if ^= fj' x^ =- x\ y^ = y' an, so entsteht daraus 

 die zentrische Kollineation von aus mit der Achse x' -\-y' ^= r^ : 2 

 und der Gegenachse x' -\- y' = r^. Aus dieser Kollineation ergeben 

 sich damit Eigenschaften jener Abbildung der Ebene ^ i] in den 

 Kreis r. 



Um eine Mass geometrie^ im Innern des Kreises r zu 

 erhalten, ist die Strecke A (xi yi), B {x2 yz) durch eine solche 

 Funktion F {x, y) zu messen, die unendliche Werte gibt, wenn A 

 oder B m U oder V rücken. Dazu ist das Mass dargestellt durch 

 den Hyperbelbogen A' B'. Die Koordinaten x, y eines Punktes P 

 in r werden dann gemessen durch die zu P gehörenden Hyperbel- 

 bogen u und ^, welche die Abbildungen der Strecken x und y 



• Als Beispiel zu der allgemeinen BetracMung über nichteuklidisclie 

 Geometrie in: K. Merz. Zur Erkenntnistheorie von Raum und Zahl aus Histo- 

 rischem der Steinerschen Fläche (8.104) im Jahresbericht der Natur- 

 forschenden Gesellschaft G raubündons, Chur 1917. (Separatabzug 

 S. 40.Ì 



