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den g-emessenen Winkeln die gleiche Anzahl zur Berechnung der 

 Elemente verwendet, als Elemente berechnet werden mussten. 

 Waren hingegen an Kristallen mehrere Formen Yollkommen aus- 

 gebildet, dann wurden zunächst die gemessenen Winkel nach der 

 Methode der kleinsten Quadrate ausgeglichen. Die Ausgleichungs- 

 verfaliren wurden von J. Beckenkamp 1881 und 1894 für die 

 einkreisige Messung, von G. Wulff 1904 für die zweikreisige 

 Messung angegeben. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Abweich- 

 ungen der Flächenlagen als „zufällige Fehler" zu betrachten sind. 

 Das ist aber bei den Kristallen durchaus nicht immer der Fall 

 (Vizinalflächen , Tendenz zur Ausbildung nach Kleiukreiszonen). 

 B. A. Wülfing hat deshalb 1900 und 1916 für die einkreisige 

 Messung die sog. Häufungsmethode eingeführt, deren Haupt- 

 forderung ist, dass für die richtige Ermittlung eines Winkelwertes 

 die Messung so lange an verschiedenen Kristallindividuen' fortge- 

 setzt wird, bis die erhaltenen Einzel werte eine ausgesprochene 

 Häufung um einen bestimmten Mittelwert aufweisen. Ein einfaches 

 gi'aphisches Verfahren gestattet in jedem Stadium der Untersuchung 

 das erreichte Gesamtresultat auf einmal zu überschauen und ent- 

 scheidet am Schlüsse der Untersuchung über die eventuelle 

 Streichung extremer Werte. Die Methode der kleinsten Quadrate 

 wird dadurch überflüssig gemacht, dass die Mittelwerte einer 

 grossen Anzahl von Winkeln innerhalb gewünschter Genauigkeits- 

 grenzen miteinander übereinstimmen, falls keine systematischen 

 Abweichungen vorliegen. 



Bei zweikreisiger Messung erscheint das graphische Bild für 

 jede Kristallform als eine Punktmenge auf der Kugel. In der Ebene 

 werden die Punktmengen in einheitlichen rechtwinkligen Koordinaten 

 (p' Q dargestellt, welche sich aus den Positionswinkeln q^g der 

 Messung, dem Abstand qi des neuen Koordinatenursprungs vom 

 Pol der Messung nach den exakten Formeln 



sin (p' == sin cp sin q (1) 



sin Q = sin ^1 cos g — cos ^i sin g cos (f> (2) 

 oder nach den approximativen vereinfachten Formeln 

 cp' ^ (p sin Q bezw. q/ ^ g sin ^ (1 a) 

 ^' ^' ^1 — ^ + Ô' (2 a) 



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WO Ô' ^ 2 ■ 3438 sin g cos ^i sin - ^ (m Minuten) berechnen las- 

 seil, (la) und ô' in (2a) werden mit Eechenschieber gerechnet. 



