12 SOCIÉTÉ HELVÉTIQUE 



Ce développement suppose : a-(b-r p _ i y = n p _ l • n p ; 

 cette formule se vérifie pour les premières valeurs, et 

 en la supposant vraie pour deux valeurs n p _% • n p _ 1? 

 on démontre aisément qu'elle subsiste pour le produit 

 suivant : n p _ i • n T ; elle est donc générale. 



En remarquant : n p > r p ; n p > r p _^; n p < 2b ; 

 r p < b ; on peut démontrer le théorème suivant : 



Théo. I : Dans le développement de y a en frac, cont., 

 si, à un moment donné on a : n v = n pJr i, ou encore 

 n p _ { = n pJrU à partir de n pH toute la série des valeurs 

 (n) obtenues avant (n p ) ou (n p ^) se répète dans l'ordre 

 inverse; les valeurs (6) suivent la même loi. 



La valeur (nx) qui devient égale a(n t ), entraîne une 

 valeur suivante (ni+t) égale à 4 et des valeurs öa = &! 

 et b^x = 26 ;à partir de cette valeur 2 b, tous les quo- 

 tients depuis bi, à 2 b forment une période. 



On a donc : p = p + ] u p_1 = p+1 



K-i = K+2 K-2 = b P+2 



à p _, = b p+z b p _ 3 = b p+5 



h = K = b X 6 i =b 2P -i = b Ä 



On peut encore déduire les deux théorèmes suivants : 

 Théo. II. Si Von a une fois deux termes n etn <y 

 tels que n = n x et w„_u =^_ 1 , n^ et ri%_i étant des 

 termes précédemment obtenus, la loi précédente sub- 

 siste pour les valeurs (n) et (b) entre n x et n ainsi que 

 pour les valeurs c >rrespondantes avant n À _ { et après 



% + i- 



Théo. III. Si, au contraire, on a n À = n et n , { = 



