DES SCIENCES NATURELLES. 13 



n À , { , les valeurs n et w-xi font partie d'une pé- 

 riode qui est la répétition d'une autre formée suivant 

 le théo. I, et à laquelle appartiennent n^ etn X \ V - 



Tous les produits n À _ i . n À figurant dans le calcul 

 des quotients incomplets peuvent se former en retran- 

 chant de (a) les carrés parfaits inférieurs, et en décom- 

 posant les restes en produits de deux facteurs satisfai- 

 sant aux conditions énoncées précédemment. 



En développant les quotients incomplets, arrivé pour 

 la première fois à une valeur^ qui se répète (n^ étant 

 égal à une valeur antérieure n^), trois alternatives 

 peuvent d'abord se présenter : 1 ° Le produit suivant 

 n x • n A-Li* peut être un des produits où l'on a rencon- 

 tré n ß : n ß __ l . n ß , ou n ß . n^ ; 2° il peut aussi être 

 w A •n À _ i ; (on aurait n À _ [ = n x , 4 ) ; 3° on peut 

 avoir n À+i = n A . 



Les deux dernières alternatives entraînent la pério- 

 dicité établie au théo. I; la première est à rejeter à 

 cause des théo. III et IV ; une quatrième alternative 

 seule peut encore se présenter : il y aura un produit 

 n À .Wnj avec n ÀJri différant de w^_ 4 , n À , n { et 

 de^ +1 . 



Gomme il n'y a évidemment qu'une valeur (n x i 4 ) 

 satisfaisant aux conditions du développement, et que 

 le nombre des produits est limité, en continuant de 

 raisonner ainsi à chaque terme répété, on arrivera 

 forcément à un moment où la série des produits 

 n p ' n p+l sera épuisée , alors cette 4 e alternative ne 

 pourra plus subsister, la I e étant impossible; on 

 retombera comme seule issue, dans l'une des deux 

 autres. 



