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 le voir dans le premier volume et dans le quatrième, un grand nombre de 

 conséquences qui intéressent la théorie des nombres. J'ajoute que de cette 

 même proposition combinée avec le théorème de Fermât, suivant lequel tout 

 nombre premier p divise la difféience xP — x, on peut immédiatement 

 déduire le théorème général dont voici l'énoncé. 



» Théorème. Soient 



» />, q deux nombres premiers, 



» 9 une racine primitive de l'équation 



ou, ce qui revient au même, une racine de 



{■>.) i + e -h6''-{-. . . + 6''-' — o, 



et une fonction entière de S, à coefficients entiers, toujours évidemment 

 réductible, en vertu de la formule (a), au degré p — ■!. Soit encore n le 

 nombre des valeurs distinctes que la fonction peut acquérir, quand on 

 remplace la racine primitive B par une autre ; nommons 



0,, ©„..., 0„ 



ces valeurs de 0, et posons 



(3) f (x) = (ce - 0, ) (x - 0,). . .(X - 0„); 



enfin soit H le produit des carrés des différences entre les quantités 0,, 

 02, ... , 0„, déterminé par la formule 



(4) H=(-i)^^f'(0,)f'(0.),. •.,{'(©„)■ 



Si <i est supérieur à n, premier à H, et diviseur (*) du binôme 



(5) 0'-0, 

 l'équivalence du degré n 



(6) f(j?) = o, (mod. f/) 



aura n racines inégales et distinctes. 

 » Démonstration. Si l'on pose 



ip(a:, 0)=:(x — 0) (x — I — 0). . .{x ^q + i—Q), 



on aura, dans l'hypothèse admise, pour toute valeur entière de x, 



(p{x,Q)=qQ, 



(*) Le binôme &i — 6 est une fonction entière de 6 à coefficients entiers, et r/ est nommé 

 diviseur de cette fonction, lorsqu'il divise tous les coefficients dans cette fonction lédnite an 

 degré p — 2. 



