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 Q désignant une fonction entière de 9 à coefficients entiers. Cela posé, l'é- 

 quation identique 



donnera 



(7) • f(j:)f(;c-i)...f(ar-(/ + i) = o, (mod.<7"). 



Si, dans la formule (7), on remplace x par x + Aï/, A- étant un nombre 

 premier à q, et si l'on pose, pour abréger, 



f(.r+A-9)=:F(^), 

 on aura encore 



(8) V[x)Y{x -i)...Y{x -9 4-i) = o, [\fioA.q"). 



Gela posé, l'équivalence 



(9) f(a') = o, (mod.7) 



admettra évidemment une ou plusieurs racines, et le nombre des racines 

 distinctes de cette équivalence sera le nombre des facteurs qui, dans chacun 

 des produits 



(10) ï{x){{x — i)...i{x — q-^i), 

 (ir) F(j:)F(x-hi)...F(x-9 + 1), 



seront divisibles par q. D'ailleurs q, n'étant pas diviseur de H, ne pourra 

 être diviseur commun de i[x) eî de i' {x). Donc, si i{x) est divisible par 

 ç", le polynôme 



Y[x)^{[x) + kqi'{x) + ... 



sera, comme le produit 



kqV{x), 



divisible par </ seulement. De plus, si f(.r) est premier à 9, on pourra en 

 dire autant de F(x). Enfin, si f(.r) est divisible une seule fois parc, une 

 seule valeur de k, prise dans la suite 



1,2, 3,. ..,9 — I 

 rendra la somme 



îifl+ytf'fx) 

 1 



divisible par*/, et F(x) divisible par .7^; et, pour toute autre valeur de A 

 prise dans la même suite, F (x) sera divisible par q seulement. 



» Des remarques semblables s'appliquant à chacun des facteurs du pro- 

 duit (II), si l'on prend successivement pour k les divers termes de la 



suite 



I, a, 3,..., q —I, 



ji.. 



