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 brique. Ramenée à ces fermes, la question |)eiit se résoudre par la seule 

 inspection des signes dont se trouvent affectées, quand on les réduit en 

 nombres, certaines fonctions des coefficients. Elle n'était pas résolue par la 

 règle de Descartes, qui, se bornant à considérer les coefficients eux-mêmes, 

 fournit seulement une limite supérieure au nombre des racines réelles de 

 chaque espèce; et quant aux autres méthodes proposées pour cet objet 

 dans les siècles précédents, Lagrange a observé qu'elles étaient ou uisuffi- 

 santes ou impraticables (*). Mais cette lacune, signalée par Lagrange en 1 808, 

 a été comblée, et l'on connaît aujourd'hui diverses solutions du problème. 

 La première de ces solutions est celle que j'ai donnée dans lui Mémoire 

 présenté à l'Institut, dans la séance du 17 mai i8ia. Plus tard, la question 

 a été reprise par M. Stunn, qui l'a rattachée à la recherche du plus grand 

 commun diviseur entre les premiers membres d'une équation algébrique 

 et de l'équation dérivée; plus tard encore elle a été de nouveau traitée, soit 

 par moi-même, soit par d'autres auteurs, spécialement par MM. Sylvester, 

 Hermite et Faade Bruno; et l'on est arrivé à cette conclusion remarquable, 

 que le nombre des racines réelles peut être fourni par l'application de la 

 règle de Descartes aux seules quantités qui dans téquation des différences 

 servent de coefficients aux puissances de l'inconnue dont les degrés sont les 

 nombres triangulaires. 



» Mais les équations auxquelles on est conduit dans les applications de 

 l'analyse à la mécanique, à la physique, à l'astronomie, ne sont pas tou- 

 jours algébriques; elles peuvent être, elles sont souvent transcendantes, et 

 souvent aussi les racines imaginaires de ces équations algébriques ou 

 transcendantes jouent un grand rôle dans la solution des problèmes. Il 

 était donc important d'établir des principes généraux pour le dénombrement 

 et la séparation des racines réelles ou imaginaires dans les équations algé- 

 briques ou transcendantes. C'est ce que j'ai fait dans le Mémoire lithogra- 

 phie du 27 novembre i83i, et dans quelques autres, spécialement dans un 

 Mémoire que renferme le tome XL des Comptes rendus. Dans ce dernier 

 Mémoire, le dénombrement des racines qui représentent les affixes de 

 points renfermés dans un contour donné a été réduit à la détermination de 

 la quantité que je nomme le compteur logarithmique. D'ailleurs cette déter- 

 mination peut être aisément effectuée à l'aide des formules que fournit le 

 calcul des indices des fonctions, quand, l'équation proposée étant algébrique, 



(*) Foir !e Traité de la résolution des équations numériques, par Lagrange, éditioB 

 (If 1808, psge 4.^- 



