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 M En résumé, l'on peut énoncer la proposition suivante : 

 » Théorème. L'équation (i) offre une infinité de racines imaginaires et 

 fie la forme .r +J'i. Parmi ces racines conjuguées deux à deux, une seule 

 ail plus de celles qui répondent à des valeurs positives de jk offre une 



partie réelle x comprise entre les limites kn ^ kn + -t k étant une 



quantité entière; et même l'équation n'admet une telle racine que dans le 

 cas où la valeur numérique de k est lui nombre pair. D'ailleurs, dans cette 

 même i-acine, le coefficicntj" de i est supérieur à la racine positive unique ê 

 de l'équation (i4)) et inférieur à la racine positive unique y de l'équa- 

 tion (19). 



" En appliquant les formules du paragraphe I" non plus à l'équa- 

 tion (i), mais à l'équation (3), on s'assurera : 1° que cette équation offre une 

 infinité de racines réelles dont une seule est comprise entre deux termes 

 consécutifs de la progression (6); 2° qu'elle offre seulement, comme l'a re- 

 connu M. Serret, deux racines imaginaires conjuguées l'une à l'autre, et 

 que, dans chacune de ces deux racines, la partie réelle est renfermée entre 

 les deux termes de la progression qui comprennent entre eux le nombre T. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur In résolution des équations algébriques; 

 par M. AuGCSTis Cacchy. 



" J'ai, il y a vingt ans, adressé à l'Académie plusieurs Mémoires sur la 

 résolution des équations algébriques. L'un de ces Mémoires, publié dans le 

 tome IV des Comptes rendus, renferme divers théorèmes qui paraissent 

 dignes de quelque attention, entre autres le suivant. 



» i''' Théorème. Lorsqu'une équation a toutes ses racines réelles et iné- 

 gales, on peut obtenir chacune de ces racines développée en série conver- 

 gente. 



» D'autre part, en sliivant diverses méthodes que j'ai développées dans 

 le IV° volume des Exercices de Mathématiques, et dont l'une a été indiquée 

 par Lagrange, on peut établir encore le théorème dont voici l'énoncé. 



« 2" Théorème, n variables étant assujetties à cette condition que leurs 

 carrés donnent pour somme l'unité, l'équation du degré n qui détermine 

 les maxima et minima d'une fonction de ces variables, entière, homogène 

 et du second degré, a toutes ses racines réelles. 



» Enfin, aux deux théorèmes qui précèdent, on peut joindre le suivant. 



« 3*^ Théorème. Une fonction rationnelle de l'une quelconque des racines 

 d'une équation algébrique du degré n peut être généralement réduite à une 

 fonction entière de la même racine du degré n — \. 



