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 » Cela posé, soit f [x) une fonction entière de la variable x à coefficients 

 réels et du degré n. Désignons par 



M, V, IV,..., 



n autres variables assujetties à la conditioij 



u- -h v^ -t- w'^ -\- ...= l, 

 et par 



luie fonction de u, p, iv,... entière, homogène et du second degré, les coef- 

 ficients des carrés u^, i>^, »>%..., et des produits uv, uw,..., vw,..., dans 

 la fonction j', étant eux-mêmes des fonctions entières de x à coefficients 

 réels, et choisis de manière que les diverses racines de l'équation 



(i) ï{x)^o 



vérifient encore l'équation produite par l'élimination de ti, v, iv, ... entre 

 les formules 



D„j=o, D,jr= o, • D„j=o, .... 



Les maxima et minima de j-, considéré comme fonction de u, i', w,..., 

 .seront déterminés par une équation nouvelle 



(2) r=o, 



dans laquelle V sera une fonction entière de x et de j, du degré n par 

 rapport à j-; et, pour une valeur réelle quelconque de la variable a:, l'équa- 

 tion (2), résolue par rapport à j, offrira n racines réelles, 



développables en séries convergentes dont les divers ternies seront des fonc- 

 tions rationnelles de x. Quand on prendra pour x une racine réelle de l'é- 

 quation (i), une racine j' de l'équation (2) s'évanouira; et, eu égard au 

 troisième théorème, la somme de la série qui représentera le développement 

 de cette racine pourra être, avec les divers termes, réduite à une fonction 

 entière de x du degré n — 1. Soit X cette fonction entière. Si le développe- 

 ment de j- est tel, que cette fonction entière ne soit pas identiquement 

 nulle, la racine réelle x, qui vérifiait l'équation ( 1 ), devra vérifier encore 

 l'équation 



(3) .Y=o, 



dont le degré est « — i ; elle sera même la seule racine commune à ces deux 

 équations, s'il n'arrive jamais que pour une valeur réelle de x deux racines 



