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-ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions quadratiques et homocjènes de 

 plusieurs variables; par M. Augustin Cauchy. 



§ I. — Propriétés générales des /"onctions quadratiques et homogènes. 



« Lorsqu'une fonction homogène de plusieurs variables est en même 

 temps quadratique, c'est-à-dire du second degré, elle jouit de propriétés 

 diverses d'autant plus dignes d'être remarquées, qu'on peut en déduire une 

 méthode générale pour la résolution des équations algébriques. Ces pro- 

 priétés constituent les théorèmes que nous allons énoncer. 



» 1*"' Théorème. Soit 



(r) j=F(a, g,...,^!, e) 



une fonction quadratique et homogène de n variables 



a, g,. ..,/!, ô. 

 Soient encore 



A, B,.... H, 



les demi-dérivées de cette fonction relatives à ces mêmes variables. Si l'on 

 multiplie chacune de ces demi-dérivées par la variable correspondante, la 

 somme des produits obtenus sera la fonction elle-même, en sorte qu'on 

 aura 



(2) j=:Aa + Bê-f-... -+-H>j-l-0ô. 



» Démonstration. Si le théorème est vrai quand on prend pour _^ certaines 

 fonctions quadratiques et homogènes 



w, l-, TV,... 



des variables 



a. S,..., >î, e, 



il continuera évidemment de subsister quand on prendra pour j une fonc- 

 tion linéaire de m, v,w D'ailleurs le théorème énoncé est évidemment 



exact, quand la fonction y se réduit au carré (/} d'une seule variable, ou 

 au double produit 2a§ de deux variables; attendu qu'on a dans le pre- 

 mier cas 



A = a, 

 dans le second cas 



A = g, B = a, 



et que, par suite, la formule (2) se réduit, dans le premier cas, à l'équation 



