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 cients que renferme la fonction F (a, ê,. . ., /j, Ô), et les valeurs qu'acquer- 

 raient dans ces cas exceptionriels les racines de l'équation (5) seraient 

 certainement des limites vers lesquelles convergeraient des valeurs très- 

 voisines qu'on obtiendrait en altérant très-peu une ou plusieurs des valem-s 

 particulières attribuées aux divers coefficients. Ces valeurs voisines étant 

 réelles, leurs limites seraient nécessairement réelles; d'où il résulte que, 

 même dans les cas exceptionnels, l'équation (5) n'admettra point de racines 

 imaginaires. Ainsi la formule (ai) entraîne la proposition qui a été rappelée 

 à la page 268, et que l'on peut énoncer comme il suit : 



» i""' Théorème, n variables étant assujetties à cette condition, que la 

 somme de leurs carrés soit l'unité, l'équation du degré n qui détermine les 

 maxima et les minima d'une fonction quadratique homogène et réelle de 

 ces variables, a toutes ses racines réelles. 



" Les n racines réelles de l'équation (5) seront généralement inégales, et 

 ne pourront cesser d'être inégales que dans le cas où une même valeur de jr 

 vérifiera simultanément cette équation et sa dérivée 



(29) D,Y=o. 



Dans ce cas particulier, les coefficients que renferme la fonction F (a, ê,..., »3,5) 

 devront satisfaire à l'équation de condition que produira l'élimination dejr 

 entre les formules ( 5 ) et ( 29 ). Soit 



(30) K^o 



cette équation de condition. On pourrait croire au premier abord qu'elle 

 servira uniquement à déterminer un des coefficients renfermés dans F (a, 

 ê,..., ri,Q) quand on connaîtra tous les autres. Mais il n'en est pas ainsi. 

 Effectivement, lorsqu'une même valeur de y vérifiera les formules (5) et 

 (29), l'équation (aS) donnera 



(3.) a^-+-ê'-H... + »3' + 9' = o, 



et entraînera nécessairement avec elle les conditions (28). Il y a plus : ces 

 conditions devront encore être vérifiées lorsque, dans les formules (8), on 

 supposera la fonction Q déterminée, non plus par l'équation (9), mais par 

 l'une de celles qu'on en déduit à l'aide d'échanges opérés entre les clefs a, 

 S,..., 5, »). En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante : 



» 2^ Théorème. Pour qu'une racine j de l'équation (5) soit une racine 

 double ou multiple, il est nécessaire que cette racine vérifie chacune des 

 équations (28), les valeurs de «, ë, . . . , v;, 5 étant déterminées par les for- 

 mules (8) jointes ou à l'équation (9), ou à l'une de celles qu'on en déduit 



