( 369) 

 quand on échange entre elles les clefs a, ê,..., vj, Q. Par suite, pour qu'une 

 racine réelle de l'équation (5) soit double ou multiple, il est nécessaire qu'elle 

 soit commune à cette équation et à toutes celles qu'on en déduit, quand on 

 remplace la fonction F (a, ê, . . . , y;, 6) par ime des fonctions 



F(o,ê,...,»5,e), F(a,o,..,,y,,ej,..., F (a, g,..., o, 5), F(a, 6,. ..,■/;, o). 



» Observons encore qu'en vertu de la formule {iB) la dérivée du rap- 



Y 



port —, prise par rapport à a, sera toujours positive quand elle ne sera pas 



nulle. Donc, pour des valeurs croissantes de j, ce rapport croîtra sans cesse, 

 tant qu'il conservera une valeur finie; et, quand il changera de signe avec 

 Y en passant par zéro, la valeur de a devra être positive si Y passe du né- 

 gatif au positif, elle devra être négative si Y passe du positif au négatif. Si 

 d'ailleurs on nomme 



(•32 j y i-, y 11 • • ■ , yn-\ 1 y nt 



les racines de l'équation (5) rangées par ordre de grandeur, de manière 

 qu'elles forment une suite croissante, et si l'on fait croître y par degrés 

 insensibles depuis une limite inférieure à y^ jusqu'à une limite supérieure 

 à y„i F ne changera de signe qu'au moment où F acquerra une valeur re-' 

 présentée par l'un des deux termes de la suite (Sa), et à deux termes consé- 

 cutifs de cette suite correspondront deux changements de signe de la fonc- 

 tion F en sens opposés, par conséquent deux valeurs de a, dont l'une sera 

 positive, l'autre négative. Donc, si l'on nomme 



(33) «,,«„,...,«„_,,«„ 

 les valeurs de a. correspondantes aux racines 



y \i yii: ■ ■) yn-\i yn 



de l'équation (5), deux termes consécutifs de la suite (33) seront toujours 

 deux quantités affectées de signes 'contraires. En conséquence, deux termes 

 consécutifs de la suite (Sa) comprendront toujours entre eux l'une des 

 n — I racines de l'équation 



(34) a = o, 



et réciproquement deux racines consécutives de l'équation (34) compren- 

 dront toujours entre elles un terme de la suite (Sa). D'ailleurs, comme on 

 l'a remarqué, a, dans l'équation (34), sera ce que devient Florsque dans la 

 fonction F((z, 6, . . ., y;, ô) on pose a ^ o. On peut donc énoncer la pro- 

 position suivante : 



