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 «lonrseulement à la décomposition des fonctions rationnelles et à la déter» 

 mination des intégrales définies, mais encore ;i l'intégration des équations 

 <lifférentielles ou aux dérivées partielles, el à la solution d'un grand nombre 

 de problèmes, spécialement de ceux que présente la physique mathéma- 

 tique. Toutefois la définition que j'avais d'abord donnée du réiidii partiel 

 ou intégral d'une fonction laissait quelque chose à désirer. A la vérité, 

 cette définition était analogue à celle que Lagrange a donnée de la jorn- 

 tion dérivée; et de même que, suivant Lagrange, la dérivée d'une fonction y 

 de X est le coefficient de la première puissance d'un accroissement s attri- 

 bué à la variable x^ dans le développement de l'accroissement correspon- 

 dant de j suivant les «puissances ascendantes de a, j'appelais résidu partiel 

 de la fonction j, relatif à une valeur pour laquelle cette fonction devenait 

 infinie, le coefficient de sr' dans le développement de la variation de j sui- 

 vant les puissances descendantes de £. 



>j Mais les définitions précédentes de la dérivée d'une fonction et de son 

 l'ésidu partiel relatif à une valeur donnée de la variable s'appuient sur \,i 

 considération des développements en séries; et, comme je l'ai remarqué dans 

 VJnaljse algébrique, il convient d'éviter l'emploi des séries dont la conver- 

 gence n'est pas assurée. On y parvient dans le calcul infinitésimal , en substi- 

 tuant à la définition de Lagrange la notion claire et précise du rapport 

 différentiel de deux quantités variables, et en désignant sons ce nom la 

 limite vers laquelle converge le rapport entre les variations infiniment pe- 

 tites et correspondantes de ces deux quantités. 



)' Il était à désirer qu'on pijt aussi appuyer le calcul des résidus sur une 

 notion claire, précise et facile à saisir, qui fût indépendante de la considé- 

 ration des séries. Après y avoir mûrement réfléchi, j'ai reconnu que les 

 principes établis, d'une part dans mon Mémoire de 1826 sur les intégrales 

 prises entre des limites imaginaires et dans le Mémoire lithographie du 27 no- 

 vembre i83i, d'autre part dans les Mémoires que j'ai puhViés sur les Jonc- 

 tions monodroines et monogènes, permettraient d'atteindre ce but. C'est ce 

 que je vais expliquer en peu de mots. 



» Supposons qu'un point mobile dont l'affixe est z, se meuve dans l'in- 

 térieur d'une certaine aire S ou sur le contour de cette aire, et que dans 

 le dernier cas, en décrivant ce contour, il tourne autour de l'aire S dans le 

 sens indiqué par la rotatidn d'une affixe dont l'argument croît avec le 

 temps. Soit d'ailleurs Z une fonction de l'affixe z., qui reste monodrome (\?.ns 

 toute l'étendue de l'aire, et conserve une valeur finie en chaque point du 

 contour. Enfin, le contour étant partagé en éléments très-petits, multiplions 



