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AiSaLYSE mathématique. — Note sur l'équation dont dépend l'anomalie 

 excentrique, dans la théorie du mouvement elliptique des planètes ; 

 par M. J.-A. Sekret. 



« Dans une Note qui fait partie du tome XLIl des Comptes rendus de 

 l'Académie (séance du 9 juin i856), j'ai indiqué un procédé très-simple 

 pour trouver la condition de convergence des séries qui se présentent dans 

 la théorie du mouvement elliptique des planètes; je rappellerai ici le ré- 

 sultat qui se trouve consigné dans la Note dont je viens de parler. Soient é 

 l'excentricité, Ç l'anomalie moyenne, et u l'anomalie excentrique; on a, 

 comme on sait, l'équation 



(i) u — £ sin M = Ç; 



cela posé, j'ai établi que l'anomalie moyenne, l'anomalie vraie et le rayon 

 vecteur sont développables en séries convergentes ordonnées suivant les 

 puissances croissantes de l'excentricité s, tant que cette excentricité reste 



inférieure à la quantité y ^yzT'^'^ ^ désigne la base des logarithmes né- 

 périens, et/ est le coefficient de s/^ i dans celle des racines imaginaires 

 u=^x -\- j \j — 1 de l'équation 

 (2) M — tangM = r, 



pour laquelle ce coefficient a la plus grande valeur. 



» Ce résultat remarquable m'a conduit à étudier les racines de l'équa- 

 tion (2), et j'ai montré, dans un deuxième article (séance du 16 juin i856), 

 que cette équation (2), qui a une infinité de racines réelles, admet seule- 

 ment deux racines imaginaires, lesquelles sont conjuguées l'une de l'autre. 



1) M. Cauchy vient de présenter à l'Académie (séance du 16 février iSSy) 

 un Mémoire sur le dénombrement et la séparation des racines imaginaires des 

 équations transcendantes ; il a fait l'application de son analyse aux équations 

 (i) et ( 2) où les constantes £ et Ç sont supposées réelles, et à l'égard de cette 

 dernière, il a retrouvé le résultat que j'avais obtenu. Le procédé très-élémen- 

 taire dont j'ai fait usage dans l'article mentionné plus haut, peut être appli- 

 qué avec succès à l'étude des racines de l'équation (r), et il conduit, par la 

 voie la plus simple, aux conséquences que M. Cauchy a déduites de sa sa- 

 vante méthode; c'est ce que je me propose de montrer dans cette Note. 



» Comme on passe du cas de s riégative au cas de £ positive en chan- 

 geant ^ en Ç + 71, et en prenant m — rt pour variable au lieu de u, nous 



