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 supposerons e positive, et nous examinerons d'abord le cas où cette quan- 

 tité est inférieure à l'unité. Posons 



(3) V = u — s&inu — Ç; 



si u reste réelle, V sera une fonction croissante de cette variable, car la 



dérivée — - = i — îcosm demeure constamment positive ; la fonction Y ne 



peut donc s'annuler qu'une seule fois; elle s'annule d'ailleurs nécessaire- 

 ment, puisqu'elle croît depuis — oo jusqu'à -t- co . On conclut de là que 

 l'équation (r) a une racine réelle unique. 



» Supposonsmaintenantque^^ désigne une variableimaginairej:-(-j>^V — ' » 

 l'équation (3) deviendra 



(4) V=(x — £ sui j: Çj-HV— I \ J — ^ cosx I : 



si l'on considère x comme une variable indépendante, et que l'on déter- 

 mine j par la condition que V soit réelle, on aura 



(5) J'— ECOSX = o, 



(d) y=^x — is\nx Ç. 



L'équation (5), où nous faisons abstraction de la racine y =^ o, peut s'é- 

 crire comme il suit : 



I _ . , j' , j' 



1 .2 . . .5 



le second membre est une fonction paire et croissante de y qui reste com- 

 prise entre + i et -f- =o ; donc cette équation ne peut avoir que deux ra- 

 cines réelles, lesquelles sont égales et de signes contraires, et encore faut-il, 

 pour que ces racines existent effectivement, que cosx soit positif, et, par 

 suite, que l'on ait 



(7) . X = ikn -+- S,, 



en désignant par k un entier arbitraire, et par B un arc compris entre -^ - 



et + -. La variation de x étant ainsi restreinte et la valeur de y étant prise 



positivement, cette quantité j devient une fonction détei'minée de x, et, 

 par conséquent, V est elle-même une fonction de la seule variable x. 



