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 et faisons croître cette variable de sAtt — a à 2{k-h \)n — a, k désignant 

 un entier arbitraire; la fonction V définie p;ir l'équation (3) est décrois- 

 sante dans l'intervalle de 7.kn — a à 2 An H- a, car sa dérivée -— = 1 



rlic cos a 



est négative; au contraire, elle devient croissante dans l'intervalle de 

 2^71+ a à 2(A: + i)n — a. L'équation (1) ne peut donc avoir qu'une seule 

 racine entre ^kn—aet ikn+r/., et une seule entre aA'Tî+aet 2(A-(- i)n — cf.; 

 pour qu'il y ait effectivement une racine dans le premier intervalle, il faut 



que k ne soit pas inférieur a £-, et qu il ne soit pas superieui- a 



'C, — a -t- tang a . I , , . , , , , 



2_; pareillement, pour qu il y ait une racine dans le deuxième 



intervalle, il faut que k ne soit pas supérieur à ^^ ^^^ et qu'il ne soit pas 



fé, 'i-\-x — tanga „ , 11, ,,. , > 



rieur a ~ 1. On peut conclure de la que 1 équation (i) 



admet un nombre impair 2 n + i de racines réelles, nombre qui peut se 

 réduire à l'unité; ajoutons que deux de ces 2// -f- 1 racines deviendront 



égales entre elles, si l'une des quantités —, - — " ~ ^°^' " se réduit 



à un nombre entier. 



» Supposons maintenant que u désigne une variable imaginaire, 

 jïH- J'y/ — I ; la valeur de y étant déterminée par l'équation (5), celle 

 de V sera donnée par l'équation (6). Pour que la valeur de j soit réelle, 

 il faut que cosa: soit positif et inférieur à cosa; si donc on pose l'équa- 

 tion {']), I devra rester compris entre et — a ou entre H- a et -<- -• 



D après l'équation (10), la dérivée— n'est jamais positive, et elle reste 

 finie, sauf pour les valeurs Ç = ± a; il s'ensuit que V décroît quand on fait 

 croître ^ de à — a ou de + a à h — ; on a d'ailleurs simultanément, 



«=-ï' 



7 = «, 



V = + co, 



? = -«, 



J = o, 



V = 2 kn — a. -\- tanga — Ç , 



1 = + a, 



jr = o, 



Y = 2 kn + a — tanga — Ç, 





J = QO, 



V= -00. 



Si donc 2 A- 71 — a 4- tanga — ^ est négative, la fonction V s'annule 



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