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 I. 



» Trouver l'équation aux différentielles partielles, à laquelle satisfait une 

 fonction S des variables t, q,, q^,---, q,,, telle, que la connaissance d'une solu- 

 tion renfermant n constantes arbitraires a,, a^,..., a„, donne les in intégrales 

 des équations (i), en posant 



/ ^ /dS dS I 



i devant avoir les valeurs i, 2,..., n; b,, b^,...., b„ représentant n nouvelles 

 constantes arbitraires. 

 « Soit 



S — ¥[t, q,, q^,..., q„, a,, a^, a„) 



une solution de l'équation cherchée. Je vais d'abord exprimer que les équa- 



j dS 



tions — = bi sont des intégrales du système (1), c'est-à-dire que °' = o ; 



ce qui donne 



(3) rf'S ^ ^'S dg, ^ d'S dq, , ^ d'S dq„ 



= o. 



dai dt doidq, dt da^dq^ dt '" daidq„ dt 



Mais, cette équation devant avoir lieu en ayant égard aux équations (1), on 



dqi, dB. 



doit remplacer -^ par — — ; on a de plus, en vertu des relations (2), 



d.^ 



d^S dqk dpif 



dai dqi^ dai dai 



L'équation (3) deviendra, à l'aide de ces substitutions, 



,,-. d^ _ <fa. dp, dR dp, dUdp„ 



dai dp , dai dp-^dui '" dp„dai^ 



après avoir posé 



(5) Î = S'. 



» Or si l'on suppose la fonction H exprimée à l'aide des variables t, q, , 

 ç,,..., 9„ seulement, c'est-à-dire si l'on y suppose les quantités p, remplacées 



par leurs valeurs —, le second membre de l'équation (4) représentera la 



dérivée par rapport à a, de la fonction H ainsi exprimée, car les constantes 



