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Ci n'y entreront que par la substitution des — • Je désigne par (H) la valeur 

 de la fonction H après la substitution indiquée ; nous aurons alors 



^^> dai — doi ' 



cette relation (6) aura lieu pour les valeurs i, a,.-) ^^ de /. 



» Je vais exprimer maintenant que les équations — = p^ vérifient les 











d/-^ 







équations différentielles (1), c'est-à-dire que 



dqi __ dpi _ dH 

 dt ~ dt ~ dqi 



1 ce qui don- 



nera 















(7) 



rf'S rf'S dq, 

 dqi dt ' rfy, rfy, dt 



^ '^'S dq,^ 

 dqidq, dt 



d'S 

 dq, dq 



dq„ _ rfH 



„ dt '~ dqi 



Si l'on a égard 



aux relations 













dqi, 



rf/Jt dqi dt 



dt dS' 

 dqi ~ dqi' 



d^S 

 dqi dqt ■" 



d'il 



dqi, 



dq, 



dpi, 



l'équation (7) 



prendra la forme 









(8) 





rfS' _ rfH dp, 

 dqi ~ dp, dqi 



_^_dHdp,_^ 

 dp, dqi 



rfH dp,, 

 dp„ dq, 



dB 





•Or 



















d{B.) _ du dp, 

 dq, ~ dp, dq, 



^dUdp^^ 



dp, dqi 



rfH dp„ 



dpn dq, 



dq, 





l'équation (8) 



nous conduit donc à la relation 







(9) 







dS' _ rf(H) 

 dq i dqi 









qui doit avoir lieu pour les valeurs i, 2,..., n de /. 



» Les équations (6) et (9) nous montrent que les dérivées partielles des 

 fonctions S' et (H) par rapport aux variables y, et aux constantes a, sont 

 égales; elles ont donc la même composition relativement à ces quantités, et 

 ne diffèrent que par une fonction de la variable t. 



» Donc la fonction S, définie au commencement de ce paragraphe , doit vérifiei 

 l'équation aux différentielles partielles 



(.0) §=iB) + ^{t); 



