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 (H) est la fonction qui entre dans les équations (i), et dons laquelle on a rem- 



placé les quantités pi par -^^ zs [t) est une fonction arbitraire de la variable t. 



I) Il suffira de connaître une solution de l'équation (lo) contenant n con- 

 stantes arbitraires flj, flj,..., a„\ la (n -\-iy™« constante, qui se trouve com- 

 binée avec S par voie d'addition, puisque S n'entre dans l'équation précé- 

 dente que par ses dérivées partielles, est inutile dans la question actuelle. 



D On pourra supprimer la fonction arbitraire w (ï); ou bien, si — y-^est 



indépendante des variables </,, q^,...^ q„, on pourra disposer de zs de ma- 

 nière à faire disparaître les termes en t contenus dans (H); alors, en posant 



S = g« + 2, 



2 ne renfermant plus la variable t, on réduira la question à la détermina- 

 tion de la fonction 2 avec {n — i) constantes arbitraires. 



II. 



w Trouver l'équation aux différentielles partielles à laquelle satisfait une fonc- 

 tion Y des variables U, q,, q^,..-, q„, telle, que la connaissance d'une solu- 

 tion renfermant [n — i) constantes arbitimres a^, a2,..., a„_,, donne les 2n 

 intégrales des équations (i), en posant . 



(!•) 



bf, èj,-.., ^n-i) ^ étant n nouvelles constantes arbitraires. 

 » Soit 



Y — F {U, q,,q2,..., q„, a,, fl,,--- )««-.) 

 ime solution de l'équation cherchée. Je vais d'abord exprimer que les équa- 



dV 



tions— =zè,- sont des intégrales des équations (i), c'est-à-dire que 

 d/-I 



doi 



= o: on arrivera aux relations 



dY dV 

 d^.^P'^ d^=P-^ — 



dY dY 

 ' ^î„_,-^"-" dq.-P" 



dW , dY , 



dY r dY 



rf«„_, ~''"-" dn~ 



dt 



d(n) 



= o. 



(12) 



i devant prendre les valeurs i, 2,..., (re — i); (H) représentant la valeur 



