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 et qui ont pour racines, l'une les puissances af, l'autre les puissances a*. 

 Posons 



et 



2n(.r — a') = Y + Z\/±p, 

 2 n (x — a") = Y — Z \J±~p, 



en affectant p, sous le radical, du signe + ou du signe —, suivant que p 

 est de la forme 4" + ' ou de la forme ^n — i, le signe II indiquant à 

 l'ordinaire un produit. Y et Z seront des polynômes à coefficients entiers; le 



p — > 

 premier Y, de degré et commençant par le terme a x " ; le second Z, 



de degré inférieur. On aura 



4X = Y^zp/,Z^ 



l'équation X = o se décomposera donc en ces deux-ci : 



Y + Z v/±p = o, Y - Z \j±~p = o. 



Ce beau théorème est dû à Gauss. 



» Pour qu'il n'y ait rien d'indécis relativement à nos notations, je prendrai 

 la valeur de \/p toujours positivement, et j'entendrai par y^— p le produit 

 \lp \J~ I. Cela posé, je me hasarde à dire, après Gauss, Legendre, etc., 

 quelques mots à mon tour sur les moyens que l'on peut employer pour dé- 

 terminer les deux polynômes Y et Z, ou, ce qui revient au même, le po- 

 lynôme unique 



+ Z \/'±p, ou V = Y — Z v/±7- 



U 



rfU 



» En désignant par U' la dérivée -j- de U, et de même par X' la dérivée 



de X, et en représentant par y (x) un certain polynôme à coefficients en- 

 tiers dont j'écrirai plus bas la valeur, je trouve que l'on a 



2U' 



U 



X'- 



Or l'équation X = o n'ayant pas de racines égales, l'équation U = o n'en 

 a pas non plus. La fraction 



U 

 est donc irréductible, et on devra l'obtenir en réduisant à sa plus simple 



