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 expression la fraction placée au second membre. D'après cela : Cherchfez le 



plus grand commun diviseur des deux polynômes X et X' — ç (a) \/± p, et 

 multipliez-le par une constante de manière que son premier terme soit 



;' — ' 



2 r ^ . Vous formerez ainsi le polynôme V = Y — Z \j± p. Le polynôme U 

 s'en déduira en changeant le signe du radical, comme en divisant 4X par V; 

 et l'on en conclura Y et Z en séparant les termes rationnels de ceux qui 

 sont multipliés par sjziz p. 



» Mais une élégante proposition de Gauss que je rappellerai en terminant 

 cette Note permettait déjà de former U par la division, et a conduit Legendre 

 à une méthode plus simple encore dans la pratique et fondée sur la consi- 

 dération des sommes de puissances semblables des racines. Le procédé sur 

 lequel je veux appeler surtout l'attention de l'Académie est d'un genre dif- 

 férent, et il a pour caractère essentiel de permettre de former à priori un 

 terme isolé quelconque de U. 



» L'équation 



2ll'_ X' — y(.r) v/±yj 



U ~ X ' 



dont je tire en passant ce résultat curieux 



ZY'- YZ'= 2©(x) 



où Y' et Z' marquent les dérivées de Y et Z, fournit en effet par l'intégration 

 une valeur de U très-remarquable qui mène au but indiqué. 



» Donnons d'abord la valeur du polynôme <f{x). Pour cela, faisons 

 usage d'un signe de Legendre, et désignons comme lui par 



l'unité prise avec le signe + ou avec le signe —, suivant que l'entier w, 

 premier à /?, est ou n'est pas résidu quadratique de p. Alors on a, sous la 

 forme la plus concise, 



W-) = ^[(,-)-'- H- (,').-*,.. .('-^)x+('I=i)]. 



Le numérateur 



1) ^-. + (i\ ^. 



{^ 



io5» 



