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 est divisible par x — i en vertu de la formule connue 



En effectuant la division, on trouve 



'<"= 0) --[(?)- (1)] -- [(^) - œ - (1)1— ■■ 



où l'on a simplifié la dernière moitié des coefficients au moyen de l'équa- 



■ tiou citée (-)+(-J-i-...=o. 



» Nous sommes assurés par là que <f{x) est bien une fonction entière; 

 mais la première expression est la plus commode. On en conclut facilement 

 que 



le signe y' s'appliquant à tous les entiers m premiers à p. Si donc on 

 effectue l'intégration dont j'ai parlé plus haut, et qu'on pose, pour abré- 

 ger, 



) — ' y /'"\ • 



2 -t^ \ p / mx""' 



on aura 



» Maintenant, puisque U est un simple polynôme, il est clair qu'on 

 l'obtiendra en développant le second membre suivant les puissances des- 

 cendantes de X, sans s'inquiéter des termes affectés d'un exposant négatif 

 qui doivent disparaître d'eux-mêmes. Ceci rappelle le beau Mémoire sur 

 l'élimination que Lagrange a donné dans le Recueil de l'Académie de Ber- 

 lin. Je n'ai pas à insister ici sur les simplifications de détail dont le calcul 

 est susceptible, ni sur les formes diverses qu'on peut lui faire prendre. On 

 pourra évidemment réduire la suite infinie X à ceux de ses termes qui ont 

 de l'influence sur la valeur de U, ou plutôt sur les termes de U qu'on 

 veut former. On pourra aussi remplacer ^X par 



I 



p' 



'^(■-=) 



