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 loppables en séries ordonnées suivant les puissances entières et positives 

 de t, dans le voisinage de toute valeur finie de t à laquelle correspon- 

 dront des valeurs finies des inconnues, à moins que cette valeur ne fasse 

 évanouir l'une des variables qui représentent les distances mutuelles des 

 astres donnés. 



» Toutefois les développements des inconnues en séries ordonnées sui- 

 vant les puissances entières et positives du temps offrent l'inconvénient 

 très-grave d'exiger, dans le cas même où ils sont convergents, des calculs 

 très-pénibles, vu que la convergence est très-lente quand le temps a une 

 grande valeur. Pour ce motif, il convient de substituer au temps d'autres 

 variables qui permettent d'obtenir à toutes les époques, et surtout pour de 

 grandes valeurs de <, des développements dont la convergence soit assez 

 rapide pour que les calculs puissent s'effectuer sans un immense labeur. On 

 y parvient, dans le mouvement elliptique, en considérant les inconnues qui 

 déterminent l'orbite décrite par une planète autour du Soleil, ou par un 

 satellite autour de la planète qu'il accompagne, comme fonctions d'une 

 variable que nous appellerons la clef de l'orbite, et qui n'est autre chose que 

 l'exponentielle trigonométrique dont l'argument est l'anomalie moyenne. 

 Comme on peut aisément le démontrer, les diverses inconnues, dans le 

 mouvement elliptique, sont des fonctions monodromes et monogènes de la 

 variable qui représente la clef de l'orbite, dans le voisinage de toute valeur 

 de cette variable qui a pour module l'unité. 



» Dans le cas où l'on considère, non plus une planète tournant autour 

 du Soleil, ou un satellite tournant autour d'une planète, mais plusieurs 

 planètes circulant autour du Soleil, et un ou plusieurs satellites tournant 

 autour de chaque planète, la première approximation donne encore pour 

 chaque orbite une ellipse à laquelle correspond une clef spéciale. On peut 

 d'ailleurs supposer que, dans chaque équation différentielle, la fonction 

 perturbatrice est multipliée par un coefficient que nous appellerons le re- 

 (julaleur, et qui passe de la valeur zéro à la valeur i quand on passe du 

 mouvement elliptique au mouvement troublé. 



» Cela dit, supposons toutes les inconnues développées suivant les puis- 

 sances ascendantes du régulateur. Les premiers termes des développements, 

 c'est-à-dire ceux que fournit la première approximation et qui répondent 

 aux mouvements elliptiques, seront des fonctions monodromes et mono- 

 gènes des clefs des diverses orbites décrites par les diverses planètes autour 

 du Soleil et par les divers satellites autour de leurs planètes. Ces premiers 

 ternies seront donc développables suivant les puissances entières positives. 



