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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sw les avantages que présenle l'emploi des régu- 

 lateurs dans ranaljse mathématique ; par M. Augustin Cauchy. 



« Des principes établis dans les divers Mémoires que j'ai publiés depuis 

 i83i, résulte le théorème suivant : 



» i" Théorème. Si une fonction w de plusieurs variables 



■*^' y-i 2,..., 



reste, par rapporta chacune d'elles, monodrome, monogène et finie pour 

 des modules de ces variables inférieurs à des limites données, elle sera, pour 

 de tels modules, développable en une série multiple, ordonnée suivant les 

 puissances ascendantes et entières de ces mêmes variables. 



11 Un artifice de calcul, auquel il est souvent utile de recourir, permet 

 non-seulement de réduire la série multiple à une série simple, mais encore 

 de calculer avec facilité les divers termes. Cet artifice consiste à multiplier 

 chacune des variables que comprend la fonction donnée <^ par une variable 

 auxiliaire 5, que l'on fait passer de la limite zéro à la limite i. La fonction 

 ainsi transformée peut être considérée comme une fonction de 9. Si d'ailleurs 

 on désigne à l'aide de la lettre caractéristique Jl et de ses puissances en- 

 tières Jl'', Jl'',..., ce que deviennent, quand la variable S s'évanouit, les 

 dérivées de la fonction <^ transformée comnle on vient de le dire et diffé- 

 rentiée une ou plusieurs fois par rapport à 5, on reproduira la fonction u 

 en la multipliant par l'exponentielle symbolique e"^, en sorte qu'on aura 

 identiquement 



^ ' I .2 I .2.3 



Ajoutons que, dans la formule (i), on ne devra pas remplacer Jl" par l'unité, 

 attendu que cffu représentera non la valeur générale de lafonction m, mais 

 la valeur particulière qu'elle acquiert quand les variables 



s'évanouissent simultanément. 



1) Les divers termes que comprenait le développement de m en série mul- 

 tiple ordonnée suivant les puissances ascendantes des variables x, j-, r,..., 

 se trouvent réunis par groupes dans le dernier membre de la formule (i), 

 où la somme des termes que renferme un seul groupe est représentée par 

 «ne expression de la forme 



1 .2.3. . . n 



C. p., i857, i" Semestre. (T. XLIV, K» 17.) 112 



