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 La variable auxiliaire $ qui a été transitoirement introduite dans le calcul, 

 mais qui a fini par disparaître et que ne renferme plus la formule (i), a servi à 

 régler la répartition opérée des divers termes de la série multiple entre les di- 

 vers groupes, par conséquent entre les divers termes 'de la série simple ; et 

 c'est pour ce motif que nous donnons à cette variable le nom de régulateur. 



» Au reste, pour que la formule (i) subsiste, il n'est pas absolument 

 nécessaire que la fonction des variables j:,/, z,..., représentée par w, soit 

 monodrome, monogène et finie par rapport à chacune d'elles, pour tous les 

 modules inférieurs à ceux que l'on assigne à la variable, et l'on peut évi- 

 demment énoncer la proposition suivante : 



» i" Théorème. Pour qu'un régulateur ô permette de développer une 

 fonction w en une série simple, il suffit que l'introduction de ce régulateur 

 dans la fonction donnée la transforme en une fonction de qui reste mono- 

 drome, monogène et finie pour tout module de d inférieur à l'unité. 



» Il pourra d'ailleurs arriver que le développement fourni par l'introduc- 

 tion du régulateur reste convergent dans des cas où le développement or- 

 donné suivant les puissances ascendantes d'une variable x, ou j, ou z,..., 

 deviendrait divergent. 



» La formule (i) continuerait évidemment de subsister sous la condition 

 indiquée par le 2* théorème, si la fonction donnée w renfermait avec les va- 

 riables X, j, z,..., divers paramètres a, ê, 7,.,., et si le régulateur 9 était 

 introduit dans la fonction comme multiplicateur, non plus des variables x, 

 j, z,.-., mais des paramètres a. S, 7,.-., ou de quelques-uns d'entre eux. 

 Il y a plus : on peut considérer comme régulateur toute variable auxiliaire 

 que l'on introduit dans une fonction w, en assujettissant cette variable à la 

 seule condition que la fonction reprenne, pour Q =1, la valeur assignée. 

 Le choix à faire de ce régulateur mérite une attention spéciale, puisque de ce 

 choix dépendent tout à la fois et l'existence de la formule (i), et la conver- 

 gence plus ou moins rapide de la sérié qui représente dans cette formule le 

 développement de u. 



» L'intervention des régulateurs et de la formule (i) peut être appliquée 

 avec succès à la détermination des fonctions implicites aussi bien qu'à celle 

 des fonctions explicites. 



» Effectivement, considérons une ou plusieurs inconnues assujetties à 

 vérifier ou des équations finies, ou des équations différentielles données, ou 

 même des équations aux dérivées partielles. Ces inconnues seront générale- 

 ment des fonctions des variables et des paramètres renfermés dans les équa- 

 tions dont il s'agit. Si d'ailleurs on ne peut arriver à obtenir les valeurs des 



