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 pour lequel leurs variations seraient négatives. 11 n'y a de possibles que 

 les déplacements qui font croître tons les U on qui ne les font pas du tout 

 varier, ce qui établira entre ces déplacements des relations exprimées par 

 des inégalités dont aucune n'exclura l'équation. Pour abréger, iHous ne pren- 

 drons en considération qu'une seule des fonctions U, U,, Uj,..., par exem- 

 ple la première; ce que nous en dirons s'appliquera aux autres. 



M Au bout d'un temps quelconque f, attribuons au système un déplace- 

 ment idéal, par lequel ces différents points parcoiu-raient les espaces As, 

 As', As",..., infiniment petits et du reste absolument arbitraires tant en 

 grandeurs qu'en directions; la quantité U dépendant de la position du sys- 

 tème variera nécessairement par ce déplacement et deviendra L) -+- A U+ — 

 L'incrément AU -f-... sera arbitraire comme les variations Ae, et ne peut 

 être limité qu'en restreignant ces variations. Ainsi, si l'on ne donne aux As 

 que les valeurs qui se rapportent aux déplacements possibles, c'est-a-dire 

 permis par les obstacles, la quantité U ne pouvant alors qu'augmenter ou 

 demeurer invariable, nous aurons 



AU +... > o, 



ou bien, en rejetant les infiniment petits des ordj-es supérieurs, 



AU > o. 



L'inégalité précédente n'exclut point l'équation, car la quantité L peut 

 aussi conserver sa valeur poiir les déplacements possibles. 



» Restituons aux déplacements As, As', As",..., les valeiu's et les direc- 

 tions absolument arbitraires, puis décomposons ces déplacements en ceux 

 que le système reçoit en effet pendant l'instant dt, et en d'autres que nous 

 désignerons respectivement par Si, (?£', t?s ",.... En représentant par f, v\ 

 ('",...., les vitesses des différents points du système à la fin du temps <, et ne 

 retenant que les infiniment petits du premier ordre, les déplacements effec- 

 tifs seront vdt, v'dt, v"dt, Désignons par rfU le premier terme du chan- 

 gement que U éprouvera par suite de ces déplacements, d\i sera la diffé- 

 rentielle de U relative au temps, désignons aussi par (?U le premier terme 

 de la variation que U snbira par les déplacements (?£, (?h', oV',..., nous au- 

 rons ■ 



AU = rfU + t?U. 



Comme les mouvements effectifs vdt, v^dt^ \>"dt,..., sont visiblement pos- 

 sibles, la différentielle c?U sera l'une des valeurs de t^U qui se rapportent 

 aux déplacements possibles, et par suite elle aura une valeur positive ou se 



