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 toutes les fois qu'on aura attribué aux quantités arbitraires (Je, âe', ai",..., 

 des valeurs particulières qui satisfont aux inégalités 



âV>o, tJU, >o, (?U2>o,..., 



le cas d'égalité n'étant pas exclus. Une semblable condition doit lier la 

 variation âV aux variations â\J, àU,, âU^,..., et il s'agit de découvrir la 

 manière dont la première dépend des autres. On y parviendra par une 

 considération empruntée à l'algèbre élémentaire, comme nous allons le 

 montrer. 



» 2. Désignons par ^,- un polynôme linéaire 



t i t '" i 2 2 "' i 3 3 "' • ' ' i,n "^ ti 



k n variables indépendantes x^, j:,, a.\,...,Xn, et considérons m polynômes 

 Pi-, Pî-i Psf-i Pin- Supposons d'abord m ■= n. On sait par les éléments que 

 si le déterminant D, formé de n^ coefficients a, ne se réduit pas à zéro, les 

 polynômes p seront susceptibles de recevoir les valeurs absolument arbi- 

 traires, car on satisfera toujours aux équations qui en résulteront entre 

 les variables x. Ainsi D ayant une valeur différente de zéro, on pourra 

 considérer les polynômes [> comme n variables arbitraires et tout à fait in- 

 dépendantes entre elles. Mais si le déterminant D s'évanouissait, on démon- 

 tre dans les éléments qu'il y aurait alors entre les polynômes dont il s'agit 

 une ou plusieurs relations linéaires, c'est-à-dire de la forme 



X,/J, + X2P2 + X3/J3 -+- ...X„/?„ =0, 



dans laquelle les coeificients X ne dépendent pas des x. 



» Il résulte évidemment de ce qu'on vient de rappeler que si, d'après la 

 nature des polynômes p, on ne peut pas les considérer comme les varia- 

 bles indépendantes, le déterminant formé de leui's coefficients a se réduira 

 a zéro; et, par suite, il y aura nécessairement une relation linéaire entre ces 

 polynômes. 



» Supposons que le nombre des variables jr, désigné par n, soit plus grand 

 que celui des polynômes />, désigné par m; on jugera alors de la dépen- 

 dance mutuelle ou de l'indépendance des polynômes dont il s'agit par les 

 déterminants partiels qu'on formera en prenant in^ des coefficients a, sur 

 leur totalité n^, et de manière que chaque déterminant partiel soit formé 

 des coefficients appartenant aux mêmes m variables x, dans tous les po- 

 lynômes p. Si parmi les déterminants partiels dont nous parlons et dont 



1 1 ,/!. , nln — i)ln — i)...(n — m+i) ., . . . . 



le nombre s eleve a — ^ i ^ ■> n en est qui ne soient 



1.2.3.../» ' 



