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pas zéro, les polynômes /J seront absolument indépendants entre eux; mais 

 si tous ces déterminants partiels devenaient zéro, il y aurait entre les p une 

 ou plusieurs relations linéaires. Cette proposition appartient également à 

 l'algèbre élémentaire, et l'on y démontre aussi que l'égalité à zéro de h — /«-t- ( 



,. . . , . , , !"(« — 0'" — 2)... — (n — m-hi) 



déterminants partiels, pnssurlenombretotai ■ 5 ' 



r M 1.2.3...'" 



entraîne celle de tous les autieset, par suite, la dépendance mutuelle entre 

 les p. 



" Donc, comme dans le cas m = n, dans celui de ni < n, nous devons 

 conclure que si on reconnaît, par quelques propriétés des p, que ces poly- 

 nômes ne peuvent être traités comme les variables indépendantes, tous les 



n(n — i) (n — 2). . .( n — m+t),, . ., ., . i'i„ 



-^^ — ^-y ■ déterminants partiels qui s y rapportent s éva- 

 nouiront, et il y aura entre les p une relation linéaire, c'est-à-dire de la 

 forme 



)) Nous disons une relation, car le cas de plusieurs relations est renfermé 

 dans le précédent, les coefficients X pouvant n'être pas complètement dé- 

 terminés. 



» Au surplus, si les polynômes p doivent, par leur nature, avoir une rela- 

 tion, celle-ci ne peut être que linéaire, car il est facile de s'assurer que toute 

 autre en aurait établi une entre les variables indépendantes a?, conséquence 

 inadmissible. 



» Enfin, il est visible que, dans le cas de m < n, il y aura toujours des 

 relations linéaires entre les polynômes p. 



•< 3. Nous n'avons maintenant qu'à rapprocher les conséquences de l'a- 

 nalyse algébrique tout à l'heure rappelées à la théorie générale du mouve- 

 ment. Les variables indépendantes x et les polynômes linéaires p sont, dans 

 cette théorie, les déplacements as et les variations (?V, â\J, (?U,, âV^---- 

 Attribuons aux <?£ des valeurs qui rendent positifs ou zéros les polynômes 

 d*U, (?U,, cJUj,..., ces mêmes (?£, sans aucun nouvel assujettissement, doi- 

 vent faire acquérir au polynôme âY une valeur négative ou zéro; donc les 

 polynômes dont il s'agit ne peuvent être considérés comme variables indé- 

 pendantes, âV dépendra nécessairement des c?U, ^U,, (JU2,...; car, dans le 

 cas de l'indépendance, on pourrait donner à tous ces polynômes des valeurs 

 quelconques, on pourrait les faire positifs tout à la fois, c'est-à-dire pour les 

 mêmes valeurs des âe. Le polynôme (?V dépendant de c?U, c?U,, d'il,,..., 



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