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 il s'ensuit une relation linéaire 



quels que soient les à'e tant en grandeur qu'en direction. Ajoutons que les 

 coefficients X doivent être tous négatifs. Admettez qu'il y en ait qui soient po- 

 sitifs; comme les â\] sont arbitraires, on pourra leur attribuer des valeurs 

 positives et rendre en même temps la partie positive de l'expression 



X(?U + X,(JU, -hl^âU^-h... 



plus grande que la partie négative, ce qui donnerait 



(?V>o; 



en sorte que toutes les variations 



c?V, âV, âV,, c?Uj,..., 



seraient positives à la fois, conséquence contraire à la nature de la question. 

 Faisons passer d'un même côté tous les termes de la dernière équation, nous 

 aurons pour le mouvement d'un système quelconque l'équation 



o = (?V + lâV H- X, (?U, -h X2 (?U2 + . . . , 



où les déplacements (?£ sont absolument arbitraires en grandeurs et en direc- 

 tions, et les facteurs X sont tous positifs. Mais si parmi les âU il y en avait qui 

 n'eussent d'autres valeurs que zéro pour les déplacements possibles, les si- 

 gnes des facteurs correspondants X pourraient être négatifs aussi bien que 

 positifs, comme il est facile de le voir. 



» 4. Le procédé qui nous a conduit à l'équation générale de la dynami- 

 que peut servir dans d'autres recherches, et, par exemple, dans la théorie 

 des maxima et minima relatifs, dans la détermination des conditions d'in- 

 tégrabilité des formules différentielles, etc. Pour en dire un mot, désignons 

 par X et j une variable indépendante et une fonction de cette variable, et 

 supposons qu'on demande de toutes les relations entre x et j, pour les- 



quelles l'intégrale / vdx conserve ime même valeur, celle qui rend 

 maximum une autre intégrale / udx , m et f étant fonctions des jc, 



y et des dérivées ^) -j^, • • • Donnons aux variables a: et ^ les incréments 

 àx et èy inBniment petits et du reste tout à fait arbitraires , les intégrales 



Jrth pb 



I vdx et / udx, en ne retenant que les infiniment petits du premier 

 a va 



