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\ vdx et â I iiclx. Or, pour que l'intégrale 



I vdx ne varie pas quand les variables x et j- changent en x -+- &x et 

 j -+- dy, il faut que les incréments âx et âj satisfassent à la condition 



(^ / vdx = o ; 



et dès que cette relation subsiste, sans aucune autre limitation de (?x et o'j, 

 nous devons avoir 



c? I udj: = o, 



à cause du maximum. Ainsi, en n'astreignant les incréments &x et âj- qu'à 

 satisfaire à la condition 



(? / vdx = o , 



la variation d* / udx doit disparaître en même temps, et cela non à cause 

 des valeurs particulières des âx et âj^, mais par la nature du polynôme li- 

 ' udx; donc ce polynôme dépend de â j vdx; et, par suite, 



a Ja 



néaire 



nous aurons 



â I udx =\â I vdx, 



Ja J a 



quels que soient les incréments inûniment petits èx et èy. 



» Supposons encore qu'on demande les conditions d'intégralité de la for- 

 mule différentielle 



Xrfx + Yc?j + Zrfz + . . . 



à un nombre quelconque des variables x, y, z,..., en supposant entre les 

 différentielles dx, dy, dz,..., une relation linéaire 



Pc/x + Qc?/ + Rrfz + . . . = o. 



Désignons par d\ la valeur que prend la formule proposée quand cette re- 

 lation est satisfaite ; il est évident que la différence 



~dV + Xdx + Ydy -h Zdz + ... 

 s'évanouira dès qu'on aura astreint les quantités dx, dy, dz,..., à vérifier 



l 



