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 une fois, je n'ai pas eu l'intention de présenter aujourd'hui à l'Académie un 

 travail complet; j'ai voulu seulement lui faire voir que j'avais en main des 

 éléments sérieux, que le temps pourrait faire fructifier, mais qui dès aujour- 

 d'hui étant connus, permettent de vérifier par l'expérience les principaux 

 points de mon dernier travail » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Note sur une propriété commune aux séries dont le 

 terme général dépend des fondions X„ de Legendre, ou des cosinus et sinus 

 des multiples de la variable; par M. Plarr. (Présentée par M. Bertrand.) 



(Commissaires, MM. Liouville, Lamé, Bertrand.) • 



« Soit j une fonction de x quelconque soumise à la seule condition de 

 varier par degrés infiniment petits lorsque x varie de la même manière 

 depuis une certaine limite inférieure jusqu'à une autre limite supérieure. 

 Supposons que, par un changement préalable de variable, on ait ramené 

 ces limites de x aux valeurs — i et + i. Proposons-nous de représenter 

 approximativement les valeurs de j =fx par une fonction Y rationnelle 

 et entière de j? de degré m. Prenons pour Y la formule d'interpolation de 

 Lagrange et raisonnons dans l'hypothèse que le choix des valeurs particu- 

 lières Xo, X,, J",,..., x„ de la variable est tout à fait arbitraire. Pour déter- 

 miner ces valeurs x^, x,,..., x„ de la manière la pins avantageuse, on 

 pourra les soumettre à la condition que l'intégrale 



j^\j-Yfdx 



(qui exprime la moyenne des carrés des erreurs entre les limites de la va- 

 riable) soit un minimum. La condition du minimum sera 



0= J"^' {y -Y)dYdx. 

 » Mettons Y sous la forme 



(i) y = 2""a«x„, 



ce qui est toujours possible, puisque Y est supposé fonction rationnelle et 

 entière de x de degré /w, les m + i coefficients A„ dépendront d'une ma- 

 nière connue des m + i arbitraires Xq., ^,, ..., x,„. Prenons ces coefficients 



