( 985 ) 

 A„ pour arbitraires indépendantes. Nous aurons 



et comme nous supposons les variations de A„ arbitraires, l'équation du 

 minimum se décomposera en m •+- 1 équations de la forme 



(2) o=^ J^\j-Y)X„dx. 



» En mettant pour Y son expression (i) et en appliquant les théo- 



rèmes : 



lorsque n' diffère de n 





X„X„.cix = o, 



Xldx. 



in + i 



les équations (2) se résolvent par le fait même de l'intégration en 

 (3) A,= ^£"Vx«^^- 



» Cela posé, on sait qu'une fonction de x quelconque j =/x soumise 

 à la restriction de ne varier que par degrés infiniment petits de x = — 1 

 à JT = + I est représentée dans toutes ses valeurs entre ces limites de x 



par la série V A„X„, dans laquelle les valeurs de A„ sont déterminées 



précisément par l'expression (3). Nous pouvons donc énoncer la pro- 

 priété suivante : que la somme des m + 1 premiers termes du développe- 

 ment de j en une série dont le terme général est A„X„ est parmi toutes les 

 fonctions Y rationnelles et entières de x de degré m celle qui satisfait à la 

 condition de rendre un minimum la valeur moyenne de l'erreur y —Y 

 prise depuis j: = — i jusqu'à x = -\- i. 



» Cette propriété se retrouve dans les m + i premiers termes de la 



série 





 y b„co&n{z — z„), 



dans laquelle on peut développer une fonction de z qui varie par degrés 

 infiniment petits depuis z = — n jusqu'à z = -h n. On peut, en effet, se 

 proposer de représenter approximativement les valeurs d'une fonction 



