(••39) 

 quantités négatives {voir l'article Courbes), et sa controverse avec Euler sui- 

 les logarithmes des quantités négatives est assez connue. 



» Maintenant on peut faire remarquer que quand même nous pourrions 

 concéder l'existence du paradoxe que d'Alembert suppose sur la courbe 



j' -\- x' = a\ 



la solution qu'il donne n'est aucunement admissible. L'un des défauts du cal- 

 cul, dit-il, peut être expliqué par la supposition que la branche CB (èj^) est 

 située au delà de B, comme BD, par quoi, dit-il, il y aurait continuation de la 

 branche «B, comme s'il croyait qu'il n'y eût aucune continuation en BC. Mais 

 contre cette supposition s'élèvent deux objections décisives. Premièrement, l'é- 

 quation donne aux 7 entre A et B des valeurs égales et opposées des deux côtés 

 du AB, au point B, j = o, et au delà de B, comme par BiY, portion de l'axe 

 qui répond à BD, j ne peut pas exister, où que x = > a, ei que le radical 

 devient V— 1 • Mais secondement, il n'y a pas possibilité qu'une courbe algé- 

 brique comme l'est celle-ci s'arrête tout court, ce que, par cette supposi- 

 tion, elle devrait faire au point D, tandis que la difficulté qui principalement 

 fait recourir à l'hypothèse, la discontinuation supposée de la branche rtB 

 au point B n'est réellement, excepté que la courbe a un point de re- 

 broussement (ou une cuspide) au point B. Si le célèbre géomètre eût 

 examiné la courbe entière (*) aij^lieu de se borner à une de ses portions, 

 il aurait trouvé qu'elle est une ligne aECB, à quatre cuspides, et rentrante 

 en elle-même; et il aurait certainement abandonné sa théorie et aussi sa 

 supposition au paradoxe et du défaut du calcul. Mais c'est certain aussi 

 qu'il aurait trouvé d'autres paradoxes que l'on doit infiniment regretter 

 qu'il n'ait pas examinés, et dont la solution ou l'explication paraît assez 

 difficile, pour ne pas dire impossible. Ils ont rapport avec les recherches 

 de dynamique plutôt qu'avec l'analyse pure, et nous nous proposons de 

 les considérer d'abord et de finir avec quelques autres matières touchant la 

 courbe, indépendantes de celles renfermées dans la discussion de dyna- 

 mique. » 



( * ) Nul doute qu'il donne la figure de la courbe entière dans la planche ; mais il ne parle 

 du tout que des deux branches Eu, aB, et sa notion que la courbe s'arrête tout court à B 

 avait la même application à la branche Ea qui devait être censée s'arrêter tout court au 

 pointa; et il ne propose pas que cette branche E a soit continuée de l'autre côté de l'axe C a. 

 Ainsi il paraît certain qu'il n'avait pas formé les deux branches EC , BC , et il se peut que la 

 figure fût tracée après qu'il eut fini sa description. 



'49- 



