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 est aussi nulle dans la première supposition, et se réduit dans la seconde 



à Hcos ^, c'e^-à-dire à + n ou à — «, selon que p. est un multiple pair 



ou impair de n. 



n Cela posé, soit f[x) la somme de la série 



apX" + a^^, xP*' +... =2'^/-*^''^*; 



A=o 



en appliquant la proposition (A), il vient 



«,,.î:''cos(/3^+a)+ap+,x^'^'cos(p+i//+a) +...== — l- ^ ' ; 



et si l'on suppose a. égal k — ph, 



(B) flpX/'+rtpH-,^'^"" cos^ + ap+2J;'^-*-=cos2A+...= ^ — '—^ ^-^ '■ 



Remplaçons maintenant dans cette équation la lettre h successivement par 



27r 27r o ^^ ■^'^ 



) 2 . ) o ■ ; • • • ) '! . 1 



n n n n 



et ajoutons membre à membre les résultats obtenus; le terme x'''^''' renferme 



A=-J0 



le facteur 'ScosiJ.^^,et sera, par suite, égal à 7i ou à zéro, selon que le 



k=o 



nombre fA sera ou ne sera pas divisible par n. On a donc la formule 



/,=0 *=I 



c'est le résultat qu'il s'agissait d'obtenir. 



» Si la lettre h eût été remplacée successivement dans l'équation (B) par 

 les valeurs 



-) 3-) 0-5'--î [2/1— Ij-, 



n n n n 



k=n 



on voit, en se reportant à la remarque faite sur l'expression 2) cosp. —^i 



k=l 



que la marche précédente nous eût conduit à la somme de la série 



Op xP - <7p+„ xP*" + flp+,„ xP*""' + . . . , 

 dans laquelle les signes + et — se présentent alternativement. 



