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Ces résultats suffisaient déjà pour montrer tout le parti qu'on peut tirer 
des méthodes exposées dans mes précédents mémoires, et les avantages 
que présente l'application de ces méthodes à la solution des grands pro- 
blèmes d'analyse. Mais avant que je puisse vous adresser le nouveau mé- 
moire qui renfermera une exposition plus détaillée des diverses proposi- 
tions que je suis parvenu à établir, je n’ai pas su résister au désir de vous 
en faire, connaître encore ici quelques-unes, en vous priant de vouloir 
bien donner lecture de ma lettre à l’Académie. 
» Comme je l’ai remarqué dans ma précédente lettre, et plus ancien- 
nement dans un mémoire de 1832, si l’on nomme valeurs principales d'un 
paramètre compris dans le premier membre d’une équation algébrique, 
celles qui donnent des racines égales à cette équation, par conséquent 
des racines communes à cette équation et à sa dérivée, toutes les racines 
seront généralement développables en séries convergentes ordonnées sui- 
vant les puissances ascendantes du paramètre dont il s’agit, lorsque la 
valeur donnée de ce paramètre offrira un module inférieur aux modules 
de toutes les valeurs principales. Si, au contraire, le module donné du 
paramètre surpasse les modules de toutes les valeurs principales, toutes 
les racines seront développables suivant la puissance descendante du para- 
mètre, Cela posé, soit 
() F (æz)=o, 
une équation de degré 7, dans laquelle le coefficient de x” se réduit à 
l'unité, la fonction F (x) étant de forme réelle. Si les racines sont incon- 
nues, on pourra du moins, d’après ce qui précède, déterminer toutes 
celles de l'équation auxiliaire 
(2) F(x)=#, 
pourvu que la constante Æ offre un module supérieur aux modules de 
toutes ses valeurs principales. C’est ce qui arrivera, par exemple, si le 
module de # surpasse le module de r°, r étant la valeur de x qui rend, 
dans la proposée, le module du premier terme également supérieur à la 
somme des modules de tous les autres. 
» Pour revenir de l'équation (2) à l'équation (1), il suffira de faire va- 
rier un nouveau paramètre À entre les limites 
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