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dans une nouvelle équation de la forme 
F(z)=k—i. 
» Nous pourrons même admettre que, dans ce trajet, le rapport £ 
reste toujours réel et positif, quoique chacune des constantes X, 1, puisse 
être imaginaire. Or cette idée très simple a des conséquences fort utiles, 
et dignes, ce me semble, de l'attention des géomètres, car elle fournit 
seule la résolution complète des équations de tous les degrés, ainsi qu'il 
résulte des théorèmes suivants, dont les deux premiers sont du nombre 
de ceux que j'avais trouvés en 1832. Dans ces divers théorèmes, je sup- 
poserai que le rapport Éreste réel et positif et j’appellerai, pour abréger, 
valeurs principales de x et de F (x) celles qui répondent à l'équation 
dérivée 
(4) FE’ (x) = 0: 
» 1* Théorème. Si toutes ies valeurs principales de F (x) étant réelles, 
on réduit à zéro la partie réelle du paramètre #, toutes les racines de l’é- 
L L u u + ce 
quation (x) seront développables pour; =1,et;< 1, en séries con- 
vergentes ordonnées suivant la puissance ascendante de c. 
. » Corollaire. On peut immédiatement développer en séries convergentes 
toutes les racines d’une équation dont la dérivée n'offre point de racines 
imaginaires; ce qui a lieu, par exemple, lorsque la proposée elle-même a 
toutes ses racines réelles. 
» 2° Théorème. Si l’on réduit à zéro la partie réelle du paramètre x, alors 
z LU , c ; $ : 2 
pour;= 1, et;< 1, l'équation (3) offrira plus de racines développables 
en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes der, 
que la dérivée (4) n'offre de racines réelles. 
» Corollaire. Il en résulte que dans tous les cas, une racine au moins 
de l'équation (1) ou (3), si z est impair, deux racines , si » est pair, peu- 
vent être immédiatement développées en séries convergentes. 
» 3e Théoréme. Si l’on réduit à zéro la partie réelle du paramètre k, alors 
our + — 1, ouz< 1, l'équation (r) pourra être décomposée en quatre 
pour 7 pr  léq P pose q 
autres, qui offrent seulement : 
» La premiére, les racines réelles pour lesquelles F'{x) est positif; - 
» La seconde, les racines réelles par lesquelles F'(x) est négatif; 
