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het k désignant deux des six éléments elliptiques de la planète troublée, et 
A un coefficient constant. On regardera dans cetté formule, tous les élé- 
ments elliptiques de la planète troublante et de la planète troublée, 
comme des constantes, et leurs moyens mouvements comme des quantités 
proportionnelles au temps; et, si l’on y substitue pour R, la somme de 
deux termes quelconques de son développement en série de sinus et de 
cosinus des multiples de ces moyens mouvements, et qu'on effectué les 
intégrations indiquées , on verra, sans difficulté, qu’il n’en résulte aucun 
terme indépendant de ces deux angles variables. 
» Cette formule est identiquement nulle, lorsque les termes de R que 
lon ÿ substitue , sont indépendants du moyen mouvement de la planète 
troublante, et, à plus forte raison, quand ils ne dépendent pas non plus 
de celui de la planète troublée. Les intégrales qu’elle renferme sont alors 
les térmés proportionnels au temps que peuvent contenir les éléments ellip- 
tiques de la planète troublée. À l’égard de ces termes continuellement crois- 
sants, comme les moyens mouvements du périhélie et du nœud, par 
exemple, on ne doit pas, dans la méthode des approximations successives , 
les faire sortir hors des sinus et des cosinus; sans quoi les valeurs que l'on 
obtiendrait pour les accroissements des coordonnées de la planète troublée, 
résultant des perturbations de son mouvementelliptique, cesseraient bientôt 
d’être de très petites quantités; ce qui mettrait la méthode en défaut. C’est 
ce que j'ai suffisamment expliqué dans le n° 7 de mon Mémoire sur le 
mouvement de la Lune. Mais il n’en est plus de même, lorsqu'il s’agit de 
démontrer le théorème de linvariabilité des grands axes’: on peut alors dé- 
velopper la fonction R suivant les puissances et les produits des parties des 
perturbations qui sont proportionnelles au temps, aussi bien que suivant 
les puissances de leurs parties périodiques ; et la démonstration convient 
également aux termes de l’une et de l’autre espèce; car il suffit, pour son 
exactitude, que les termes de la première espèce soient considérés comme 
de très petites quantités pendant un temps aussi court que Pon voudra (*). 
» Au bout d’un temps £ quelconque, la longitude moyenne, dans le 
mouvement elliptique, est de la forme n£+6e, en désignant par € sa valeur 
à l’époque où l’on a t=0 , et par »# un coefficient dépendant du grand axe; 
Dans le mouvement troublé, « devient une variable, ainsi que la longueur 
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(*) J’oyez aussi, sur ce point , le n° 17de mon mémoire sur les inégalités séculaires 
du mouvement des planètes , inséré dans le XV° cahier du Journal de l École Polytech- 
nique. L 
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