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bles à la pratique, nous n’avons pas cru devoir les publier. Toutefois l’é- 
tude que nous en avons faite n’a pas été entièrement perdue, puisqu'elle 
nous a mis à même de reconnaître immédiatement l’inexactitude de la pro- 
position générale contenue dans la lettre de M. Cauchy. 
» Désignons par P et Q deux fonctions entières de x ct y, et par R la 
dP dQ  dP dQ 
dz° dy dy" dz.' 
les coordonnées rectangulaires d’un point quelconque pris dans le: plan 
des xy ; à chaque couple (x, y) répondra un point M du plan, et, réciproque- 
ment, à chaque point M répondra un couple de valeurs des deux variables 
x et y. On distinguera surtout les points du plan pour lesquels on a à la 
fois P=—0, Q — 0 : ces points représentent en quelque sorte géométri- 
quement les solutions réelles des équations simultanées P=0, Q =. 
Maintenant tracons sur le plan des xy.un Fer fermé quelconque ABC; 
quantité On peut regarder x et y comme représentant 
pour chaque point de ce contour la fraction —— aura en général un signe 
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déterminé, qui pourra varier d’un point à l’autre si, dans un intervalle com- 
k 4 È 1? : : 
pris entre ces deux points, la fraction Ro st devenue nulle ou infinie. 
. 
» Désignons par A l'excès du nombre de fois où la fraction 2 , en s’é- 
Q 
vanouissant, passe du positif au négatif, sur le nombre de fois où elle 
passe, en s’évanouissant, du négatif au positif, lorsqu'on parcourt le con- 
tour ABC, d’un mouvement continu, en allant des x positives aux y 
. positives. 
»Désignons en même temps par y le nombre des solutions réelles des 
équations P=0, Q —o qui sônt contenues dans l’intérieur du contour ABC. 
» Cela posé, le théorème annoncé par M. Cauchy revient à dire que l’on 
a toujours 4 —: A. 
» Pour le cas particulier où P et:Q représentent la partie réelle et le coef- 
ficient de \/— 1 dans le développement d’une fonction de x + y V— 1, 
M. Res observe, en terminant sa lettre, que l’on peut remplacer É 
P 
fraction — par la fraction = : cette simplification étant faite, son nouveau 
no Q 
théorème coincide avec celui qu’il a donné en 1831. 
» Quand on a 
P+HQV—: = f(x + y V—ir), 
