(77220) 
on a aussi 
dQ dP @&@ dP 
— 9 
d — dx’ dx — dy 
dP\Ÿ , /dP\° 
R=(Z) +() : 
la quantité R ne devient donc jamais négative : c’est à celte circonstance 
que tient la possibilité d'employer indifféremment, pour le calcul de 
ML à ape FAT a à 
l’excés À , la fraction Q°u la fraction RO’ 
» Passons à l'examen du cas général où P et Q sont des polynomes 
quelconques. La démonstration que M. Cauchy indique dans sa lettre 
consiste à remplacer (dans un intervalle très petit) par leurs tangentes, 
les deux courbes ayant pour équations respectives P = 0, Q = 0. 
Cette substitution n’est pas toujours permise ; elle est, par exemple, 
inadmissible dans les environs d’un point isolé, appartenant à l’une 
ou à l'autre de ces deux courbes. Mais en supposant même que Fil- 
lustre auteur exclue implicitement les cas où les deux courbes pos- 
séderaient des points singuliers, songthéorème général séra encore sou- 
vent en défaut, comme on peut le voir, soiten ‘examinant de près sa 
démonstration, soit en traitant les exemples suivants, dans lesquels 
les courbes représentées par les équations P—=o, Q = o sont des 
d’où 
cercles ou des lignes droites. 
» 1° Exemple. Soit P— x +" —1, Q=7Y; d 
suite 
’où R — 2x, et par 
PAL HT 
Q 247) 
es coordonnées un rectangle tel que la frac- 
R 
Tracons autour de l’origine d 
: P a ; re peus à 
tion RQ ne s évanoulsse pour aucun des ponts de son périmètre, ce qui 
arrivera si les coordonnées de chacun de ces points vérifient toujours l’iné- 
galité x? + y°> 1. Pour un tel contour, l’excès À sera nul. D’un autre 
côté les équations 
Pr +7 — 1 =, Q=y—=o 
sont satisfaites quand on pose ÿ—0, X—1, OU Y—=0, X—=—1, 
, , : Le : 
en sorte que lon a w=— 2. L'équation => A n’a donc pas lieu dans ce 
premier exemple. 
