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» Corollaire. Supposons que x soit une fonction implicite de #, déter- 
minée par la résolution d’une certaine équation 
(1) F(x) = 0, 
dans laquelle £ entre comme paramètre. Si la fonction x reste finie pour 
. ”, # A . 1 9 
des valeurs finies de #, elle ne cessera généralement d’être continue qu'en: 
devenant multiple. Cela posé, soient 
(2) ZX, Z+ Az, 
deux racines de Péquation (1) : on aura 
« F(x) = 0; F(x) + A(x) = 0, 
et par suite 
(3) F(z + 4x) —F(x) — 0: 
Az 
» Or, si, pour une certaine valeur réelle ou imaginaire de #, les raci= 
nes æÆ, x + Ax se confondent, en faisant converger £ vers cette valeur , 
pour laquelle l'équation (1) acquerra une racine double ou multiple, on 
verra l’équation (3) se transformer en cette autre 
(4) e F'(x) = 0. 
» Ainsi, lorsque le paramètre £ obtient une valeur pour laquelle l’équa- 
tion (1) acquiert une racine double‘ou multiple, cette racine est commune 
à l'équation (x) et à sa dérivée. Cela posé, si l’on nomme valeurs princi- 
pales du paramètre £ celles qui donnent des racines communes à l’équa- 
tion (r) et à sa dérivée, on déduira immédiatement des remarques précé- 
dentes, jointes au théorème 1°, la proposition que nous allons énoncer. 
» 2° Théorème. Toute racine d’une équation est généralement dévelop- 
pable suivant les puissances ascendantes d’un paramètre renfermé dans 
l'équation dont il s’agit, tant que le module de ce paramètre reste inférieur 
aux modules de toutes ses valeurs principales. 
» Corollaire. Soient 
CALE 
plusieurs racines réelles ou imaginaires de l’équation (1). Pour de très pe- 
tites valeurs du module d’un paramètre £ compris dans cette équation, 
chacune des racines a, 6, y, .... sera généralement développable suivant 
les puissances ascendantes de é, et l’on pourra en dire autant de la somme 
