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encore des développements ordonnés suivant les puissances descendantes 
I . , 
de #, ou ascendantes de—, on pourra évidemment décomposer l’équa- 
tion (5), pour une valeur donnée du module T de #, en autant d'équations 
particulières qu’il y aura de courbes distinctes soit de première, soit de se- 
conde espèce , correspondantes à cette valeur. Car, lorsqu'une courbe en 
enveloppera d’autres, on pourra déterminer la somme des racines de l’équa- 
tion (5) correspondantes à des points situés sur ces diverses courbes, avec 
la somme des puissances semblables de ces racines, soit en tenant compte, 
soit en faisant abstraction des points situés sur la. courbe-enveloppe, et 
obtenir en conséquence la somme des racines correspondantes aux seuls 
points situés sur la courbe-enveloppe, avec la somme de leurs puissances 
semblables. Ce n’est pas tout, si l’une des équations (9) ou (10) admet 
des racines égales, on pourra développer séparément chacune des racines 
correspondantes de l’équation (5) suivant les puissances ascendantes et 
. - Lo : . 
fractionnaires de £ ou de -, lorsque le module T du périmètre # sera in- 
férieur ou supérieur aux modules de toutes ses valeurs principales. Ainsi, 
par exemple, si l'équation (9) offrant m racines égales à «, le module T de # 
est inférieur à tous les modules principaux de ce paramètre, alors en 
posant 
(11) ù tr 
On pourra développer chacune séparément, suivant les puissances as- 
cendantes de r, celles des racines de l’équation (5) qui deviendraient égales à 
a pour é— 0. Cette proposition se déduit immédiatement du théorème +, 
iorsqu’on applique ce théorème à l'équation (5) résolue par rapport à r. 
» Les variables x et £ étant supposées liées entre elles par l'équation (5), 
les valeurs principales de £ vérifieront à la fois cette équation et sa dérivée 
(12) H'(x)+ ta (x) = 0: 
Et les valeurs correspondantes de la variable x, c’est-à-dire les valeurs 
principales de x, seront déterminées par la formule : 
1@_7@, a 1@ 2 D@ 
(x) æ@(x)’ 2(x)  æ'(x) 
(3) 
Si, dans cette dernière on écrit x + y V—1 au lieu de x, on obtiendra 
l'équation 14 io 
(14) DGHyV—r) _DG+r VV) 
m(e+yVi)  #(c+y Vi)’ 
