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offrira, pour chaque valeur principale de x, un module 
(COS LEONE 
supérieur à Æ; et par suite toutes les racines de l’équation (19) seront 
développables, même pour i=%k, en séries convergentes ordonnées 
suivant les puissances-ascendantes de ;, ces séries ayant pour premiers 
termes les racines déjà calculées de l'équation (17). Mais, quand on 
pose ik, l'équation (19) se réduit à l'équation (1). Donc, si l’équa- 
tion (1) a toutes ses racines réelles et inégales, la résolution de cette 
équation pourra être réduite à celle de l'équation (17), par conséquent 
à celle de l'équation binome (18). Observons d’ailleurs qu’en supposant 
(24) r—*, eV y=, 
on réduira les équations (17), (18), (19) à 
(25) k = f(x) V—r, (26) =; V—r, 
(27) k=itf(x) V—x, ou Ê—k—{(x) V—+1; 
tandis qu’en supposant 
e8) =, eVSeLyT, 
on réduira les équations (17), (18), (19), à 
(29) k=—f(x) W—r, (30) M=—E Vi, 
(31) k=i—f(x)W—1, ou ik + f(x) V5. 
On peut donc énoncer la proposition suivante. 
» 1 Théorème. Lorsque l'équation (r)a toutes ses racines réelies et iné- 
gales, on peut obtenir chacune de ces racines développée en série 
convergente; et, pour y parvenir, il suffit de poser =, dans les 
développements des racines de l'équation (27) ou (31), en séries con- 
vergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières deë, 
ces séries ayant pour premiers termes les racines de l’équation (25) 
ou (29), développées suivant les puissances descendantes et fraction- 
naires de #, ou, ce qui revient au même, suivant les puissances ascen- 
dantes et entières des valeurs de À, propres à vérifier l'équation binome (26) 
ou (30). 
