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» 2° Théorème. La fonction f(x) étant supposée de forme réelle, l’é- 
quation 
(G) ; f(x)= 0, 
considérée comme déduite de ia formule (27) ou (31) par la supposition 
ik, offre plus de racines développables en séries convergentes, ordon- 
nées suivant les puissances ascendantes de i, que l'équation dérivée 
(13) 12(2)—0 
n'offre de racines réelles. | 
» Corollaire. Il en résulte que, dans tous les cas, une racine au moins de 
l'équation (1), si le degré z est un nombre impair, deux, racines, si le de- 
gré n est un nombre pair, pourront être immédiatement développées en 
séries conyergentes. 
» Les théorèmes 1 et 2, ainsi que j'en ai fait l'observation dans ma lettre 
du 24 février, sont du nombre de ceux auxquels j'étais parvenu à Turin. 
En s'appuyant sur ces théorèmes on pourrait développer successivement 
en séries convergentes toutes les racines d’une équation donnée f(x) = o. 
Car, après avoir développé une première racine x,, on pourrait en déve- 
lopper une seconde x, considérée comme racine de l'équation 
2 am) a o où 27 +(x+a)x (x +a, x, +a,) a+... — GP 
LT Lo 
puis une troisième x, ,... et ainsi de suite. Si la racine x, devenait imagi- 
naire ou de la forme 46 V/—1, alors f (x) étant de forme réelle, on 
connaîtrait immédiatement la racine imaginaire conjuguée à — 6 ÿ—3, 
et, en nommant x, cette dernière, on pourrait développer une troisième 
racine x, considérée comme propre à vérifier l'équation 
AM + (ro + +a,) x" Letc...—o, 
etc. ..On pourra, d’ailleurs, déterminer les limites de l'erreur que l’on 
commettra sur une racine en réduisant son développement à un nombre 
fini de termes, et réciproquement déterminer une limite du nombre des 
termes qu’il faudra conserver pour obtenir la valeur de chaque racine 
avec une certaine approximation, par exemple, à nPrès N étant un nom- 
bre entier quelconque. Les problèmes de ce genre sont précisément l’ob- 
jet du nouveau calcul que j'ai appelé calcul des limites, et qui s'applique 
même aux équations transcendantes. (J’oyez le mémoire présenté 
à l’Académie de Turin, le 11 octobre 1831.) 
C.R. 1837, 127 Semestre. (T. IV, No 09.) 111 
