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» Je passe à la démonstration du 3° théorème énoncé dans ma lettre du 
24 février. 
» Soient æ, 6 deux quäntités réelles, f(x) étant toujours une fonction 
entière de forme réelle, et 
(40) z—a+6V— 1 
une valeur de x propre à vérifier l'équation (27) ou (31) pour une valeur 
donnée réelle ou imaginaire de i. Si l’on fait varier cette dernière par de- 
grés insensibles, en faisant croître son module, la valeur de x, et par suite 
celles de &, € varieront elles-mêmes par degrés insensibles; mais 6 ne 
pourra changer de signe avant que le module de à devienne supérieur à X. 
En effet, 6 ne pourra changer de signe sans passer par zéro, c’est-à-dire 
sans que x devienne réel, et pour une valeur réelle de x l'équation (27) ou 
(31) fournira un module de i équivalent à l’expression (23), par consé- 
quent, égal ou supérieur à k, suivant que x sera ou ne sera pas racine de 
l'équation (1). Il résulte de cette observation , que le module de ÿ venant à 
croître depuis la limite zéro jusqu’à la limite 4, le coefficient 6 de V/—1, 
dans une racine imaginaire de l’équation (27) ou (31), ne pourra jamais 
changer de signe, mais seulement s’évanouir pour i= #, si l'équation (1) 
a des racines réelles. D'ailleurs, avant de se réunir dans un même 
groupe, deux racines imaginaires de l’équation (1), dans lesquelles les va- 
leurs de 6 ou les coefficients de V/— 1 se trouvent affectés de signes con- 
traires, doivent devenir égales entre elles, ainsi qu’à une valeur princi- 
pale de x, et par suite l’un de ces coefficients doit changer de signe. Donc, 
puisque ce changement ne saurait avoir lieu, avant que le module de à de- 
vienne supérieur à 4, nous devons conclure que les racines imaginaires de 
l'équation (27) ou (31), dans lesquelles le coefficient de V— 1 sera positif, 
resteront séparées des racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de 
V— 1.sera négatif, tant que l’on aura 
(4x) 3 mod. i € k. 
Alors chaque groupe sera exclusivement formé des unes ou des autres; 
par conséquent la somme des unes, aussi bien que la somme des autres, 
sera développable, avec la somme de leurs puissances entières de degré 
quelconque, suivant les puissances ascendantes du paramètre i. D'ailleurs, 
tant que la condition (41) sera remplie, il est évident que l'équation (27) 
ou (31) n’admettra point de racines réelles. 
