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» Lorsque ; devient précisément égal à ke l'équation (27) ou (31) se 
réduit à l’équation (1), et peut offrir des racines réelles. Mais alors la 
somme des racines dans lesquelles le coefficient de V—1 avait un signe 
déterminé, ne pourrait cesser d’être développable en série convergente 
ordonnée suivant les puissances ascendantes de i, qu'autant qu’une valeur 
principale de z, correspondante à une valeur principale de x dans laquelle 
6 s’évanouirait, c’est-à-dire à une valeur principale et réelle de x, 
offrirait pour module le nombre #. Alors aussi, l'expression (23) devant 
se réduire à Æ, on aurait à la fois 
f(x) Vo; É(LNI=h0} 
et par conséquent l'équation (1) admettrait des racines égales, contre 
l'hypothèse généralement admise dans ce qui précède. Donc, en revenant 
à cette hypothèse, nous pourrons énoncer la proposition suivante. 
» 3° Théorème. La fonction f (x) étant supposée réelle et entière, si l’on 
distribue les racines toutes imaginaires de l'équation (25) ou (29) en 
deux suites distinctes, la première suite comprenant les racines dans 
lesquelles le coefficient de V/—1 est positif, et la seconde suite les ra- 
cines dans lesquelles le coefficient de V/— + est négatif; les mêmes con- 
ditions seront remplies, pour un module de; inférieur à #, par les racines 
de l’équation (27) ou (31), qui pourront être distribuées en deux nouvelles 
suites correspondantes aux deux premières, et composées chacune de 
racines dans lesquelles les coefficients de V/— à seront tous et toujours 
affectés du même signe. Alors la somme des termes de la troisième ou 
quatrième suite, ainsi que la somme de leurs puissances entières de degré 
quelconque, sera développable en une série ordonnée suivant les puis- 
sances ascendantes de i, le premier terme de la série étant la somme des 
termes de la première ou seconde suite, ou de leurs puissances entières 
du degré donné. Si l'équation (1) n’a point de racines égales, les séries 
obtenues ne cesseront pas d’être convergentes quand on posera i=k, ce 
qui réduira les formules (27) et (31) à l'équation (1) elle-même, et par 
conséquent l’équation (1) pourra être décomposée en deux autres dont 
les racines coincideront respectivement avec les termes de la troisième 
suite, puis avec les termes de la quatrième. 
» Corollaire. Parmi les racines réelles que peut admettre l'équation (1), 
il importe de savoir quelles sont celles qui devront être censées appartenir 
à la troisième suite ou à la quatrième. Or, pour décider cette question 
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