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Donc, si l’on pose pour une valeur impaire de m, 
(47) u=(x—b)(z—c)...(x—8), (48) v—(x—a) (x—0)...(x—h), 
et pour une valeur paire de m, 
(G9) u=(x—0)(—0)...(&—g), (50) v—=(x—b) (xd)... (zh), 
Si d’ailleurs on nommé U le produit des facteurs simples, qu’on obtient 
en retranchant successivement de x les racines imaginaires dans les- 
quelles le coefficient dé V/—1 est négatif, et V le produit des facteurs 
simples conjugués aux premiers; la troisième et la quatrième des suites 
mentionnées dans le théorème précédent, auraient pour termes les racines 
de l'équation (1), propres à vérifier la première et la seconde des deux 
formules 
(x) uU = 0, (B2) NV = 0, 
ou bien encore la première et la seconde des deux formules 
(53) oU = 0, (54) uV = 0, 
suivant que l’on supposera l'équation (1) tirée de la formule (27) ou de 
la formule (31), par la supposition i—#. D'ailleurs, les coefficients des 
équations (51) ou (52), et (53) ou (54), se déduiraient sans peine de la 
somme des termes de ja troisième ou quatrième suite, et de la somme 
de leurs puissances semblables et entières des divers degrés. Donc l’équa- 
tion (1), ou 
(55) uyUV = 0, 
pourra être, en vertu du troisième théorème , décomposée à volonté, soit 
dans les équations (51) et (52), soit dans les équations (53) et (54). Mais, 
en divisant par leur plus grand commun diviseur les premiers membres 
des équations (51) et (53). ou (52) et (54), on réduira ces équations à 
(56) u—O, V—=0o. 
De même, en divisant par leur plus grand commun diviseur les premiers 
membres des équations (51) et (54), ou (52) et (53), on réduira ces équa- 
tions à 
(57) Ul=o; M0: 
On peut donc énoncer le théorème suivant. 
» 4° Théorème. La fonction entière f(x) étant réelle , et les racines de 
