( 819) 
Véquation (1) inégales entre elles, cette équation pourra toujours être 
décomposée en quatre autres, qui offrent seulement : 
» La première, les racines réelles pour lesquelles f'(x) est négatif; 
» La seconde, les racines réelles pour lesquelles f'(x) est positif; 
_ » La troisième, les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient 
de W—1 est négatif; 
» La quatrième, les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient 
de V— 1 est positif. 
» Corollaire. Cette proposition coïncide avec le 3° théorème de ma 
lettre du 24 février, et lorsqu'on la joint au 1° théorème, elle fournit la 
détermination complète des racines réelles d’une équation de degré quel- 
conque. J’ajouterai qûe cette détermination peut encore être simplifiée 
l’aide des considérations suivantes : 
» Soient s la somme des racines de l’équation (1), ou de leurs puissances 
semblables d’un degré donné /, et 
S SON 
la somme des puissances semblables et de même degré, des racines de l’é- 
uation (b1) 
: À SSH 
désignant trois quantités réelles. Il est clair que les sommes des puissances 
semblables et du degré /, des racines des quatre équations (51), (52),(53), 
(54) seront respectivement , pour les équations (Br) et (52) 
(58) . SÉÉIA = (59) SD) 
et pour les équations (53), (54) 
(Go) s—S+TY—: (61) SV 
Cela posé, si l’on retranche l'expression (58) de l'expression (60), la dif- 
férence 
(62) s—2S 
représentera évidemment la somme des puissances semblables, et du de- 
gré L, des racines réelles de l'équation (1), ces puissances étant prises avec 
le signe ou avec le signe — , suivant que les racines réelles dont il s’agit 
vérifieront l’une ou l’autre des formules 
