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c’est-à dire suivant que les valeurs de f/(x) correspondantes à ces racines 
seront positives ou négatives. On aura donc, pour des valeurs impaires 
de rm, 
= (63) s—2S—a—blt+tctd+.., —g'+he 
et, pour des valeurs paires de m, 
(64) s—2$8—=—a+b=c+d... —gt4+ pt, 
Si le nombre Z est impair, la formule (63) ou (64), dans laquelle S repré- 
sente la somme d’une série convergente ordonnée suivant les puissances 
ascendantes de :=#, fournira , pour une valeur impaire de m, la somme 
des puissances semblables, et du degré Z, des m racines de l'équation 
65) (r—a) (+0) (x—0) (x +4)... (+8) (x—H=0, 
ou, pour des valeurs paires de m1, la somme des puissances semblables et du 
degré L, des m racines de l'équation \ 
(66) (æ<+ a) (x— 0) (x+c) (x —d)...(x4+g) (x—h) = 0. 
D'ailleurs étant donnée pour une équation du degré m, la somme des puis- 
sances semblables des racines , des degrés représentés par les nombres 
1, 3, 5, 7e. (2m—:1), 
on en tire aisément, à l’aide de formules toutes linéaires, les coefficients 
des diverses puissances de #7 dans le premier membre de cette équation. 
On peut donc énoncer encore la proposition suivante. 
»5° Théorème. La fonction f(x) étant supposée entière et de forme réelle, 
et les racines de l’équation (1) inégales entre elles, on pourra déterminer 
immédiatement à l’aide de séries convergentes, les coefficients d’une autre 
équation qui offrirait seulement pour racines les racines réelles de l’équa- 
tion (r), prises avec le signe + ou avec le signe —, suivant qu'elles cor- 
respondent à des valeurs positives ou négatives de f(x). 
» Corollaire. Le théorème 5° joint au 1”, suffit à la détermination de 
toutes les racines réelles d’une équation -de degré quelconque. Je me pro- 
pose de revenir, dans une note nouvelle, sur cette détermination, d’éclair- 
cir encore ce qui a été dit ci-dessus, en montrant la méthode appliquée à 
des exemples numériques, et d'établir d’autres théorèmes relatifs à la réso- 
lution des équations. Parmi ces théorèmes, on doit distinguer ceux aux- 
quels on est conduit, lorsque dans les formules (17), (18), (19), la valeur de 
